4.2特殊的高阶微分方程

§4.2 特殊的高阶微分方程

()f x p ，——()x C ，，则原方程的通解为p dx dy

=得

1

dp dy p

=【例1】 求下列微分方程的通解

（1）()2

2

20x y xy y ''''--=

解 （1）令y p '=，则y p '''=，原方程化为22

20x p xp p '--=

2221

p p p x x

'-

=，属于伯努里方程 再令1z p -= 则有

221dz z dx x x +=- 通解 ()2212211()x x dx dx z e e dx C x C x x

-

⎡⎤⎰⎰=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 2

11x p z C x

==-

()22

221112

11ln 2

x y dx C x C C x C C C x =+=-+--+-⎰ 【例2】 求下列微分方程的通解 （1）()2

10yy y '''-+= 解 （1）令y p '=，则dp

y p

dy

''=，原方程化为 21dp

yp

p dy

=- 121pdp dy

C p y

'=+-⎰

⎰ 211

ln 1 ln 2

p y C '-=+

p =

dy

dx

=当10C >

(12C y x C =±+ 当10C <

)

2x C =±+

二、线性微分方程的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()()0 1y p x y q x y '''++= 二阶非齐次线性方程 ()()()() 2y p x y q x y f x '''++= 1. 若()()12y x y x ，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

()()1122C y x C y x +（12C C ，任意常数）

仍为同方程的解，特别地，当()()12y x y x λ≠（λ为常数），也即()1y x 与()2y x 的线性无关时，则方程的通解为 ()()1122y C y x C y x =+

2． 若()1y x ，()2y x 为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()12y x y x -为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3. 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()y x 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则()()y x y x +为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

4. 若y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()1122C y x C y x +为对应的二阶齐次线性方程的通解（12C C ，为独立的任意常数），则

()()()1122y y x C y x C y x =++ 是此二阶非齐次线性方程的通解。

5. 设()1y x 与()2y x 分别是

()()()1y p x y q x y f x '''++=与()()()2y p x y q x y f x '''++=的特解，

则()()12y x y x +是 ()()()()12y p x y q x y f x f x '''++=+的特解。

【例4】 已知22123x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。

解 由线性微分方程的解的结构定理可得，

()()2213121312x x x x y y e y y e e y y y y e ---=-=--+-=，，

是该方程对应的齐次线性方程的解，由解x

e -与2x

e 的形式，可得齐次线性方程为

20y y y '''--=

设该方程为()2y y y f x '''--=，代入21x x y xe e =+，得()()12x

f x x e =-

所以，该方程为 ()212x y y y x e '''--=- 其通解为 2212x x x x y C e C e xe e -=+++. 三、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程

1. 二阶常系数齐次线性方程 0y py qy '''++= 其中p q ，为常数 特征方程

20p q λλ++=

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

(1)当2

40p q ∆=->，特征方程有两个不同的实根12λλ， 则方程的通解为 1212x

x

y C e C e

λλ=+

(2)当240p q ∆=-=，特征方程有二重根12λλ=。 则方程的通解为 ()112x

y C C x e λ=+

(3)当2

40p q ∆=-<，特征方程有共轭复根a i β±， 则方程的通解为 ()12cos sin ax

y e

C x C x ββ=+

2. n 阶常系数齐次线性方程

()(

)

(

)

121210n n n n n y p y p y p y p y ---'+++

++=

其中()12i p i n =，，，为常数 相应的特征方程

121210n n n n n p p p p λλλλ---+++

++=

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

(1)若特征方程有n 个不同的实根12n λλλ，，， 则方程通解 1212n x x

x

n y C e C e

C e λλλ=++

+