第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 质量检测

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(2009·天津高考)i 是虚数单位，5i

2－i ＝

( )

A ．1＋2i

B ．－1－2i

C ．1－2i

D ．－1＋2i 解析：5i

2－i ＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－1＋2i.

答案：D

2．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

解析：已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，a ·b ＝－30＋30＝0，则a 与b 垂直． 答案：A

3．(2010·利辛模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(ma ＋b )∥(a －2b )，则实数m

( )

A.14 B ．－12 C.36 D.34 解析：ma ＋b ＝m (2,3)＋(－1,2)＝(2m －1,3m ＋2)， a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)． ∵(ma ＋b )∥(a －2b ) ∴1－2m ＝(3m ＋2)×4. ∴m ＝－12.

答案：B

4．如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD

等于 ( )

A ．a ＋34b B.14a ＋3

4b

C.14a ＋14b

D.34a ＋1

4

b 解析：AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC

＝AB ＋34(AC －AB )＝14AB ＋34AC

＝14a ＋34

b .

答案：B

5．若在△ABC 中，|AC |＝3，|BC |＝5，|AC |＝4，则|5AB ＋BC

|＝ ( )

A ．410

B ．285

C ．210 D.190 解析：根据三边边长易知△ABC 为直角三角形．

cos 〈AB ，BC 〉＝－3

5

.

∵|5AB ＋BC

|2＝

25|AB |2＋|BC |2＋10|AB |·|BC |cos 〈AB ，BC

〉＝160.

∴|5AB ＋BC

|＝410.

答案：A

6．(2010·鞍山模拟)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z

z －1等于 ( )

A ．2i

B ．－2i

C ．2

D ．－2 解析：z 2－2z z －1＝(1＋i)2－2(1＋i)1＋i －1＝2i －2－2i i ＝2i.

答案：A

7．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a ，b 的判断正确 的是 ( ) A ．a 与b 一定共线 B ．a 与b 一定不共线 C ．a 与b 一定垂直 D ．a 与b 中至少有一个为0

解析：假设a 与b 共线，由已知得k 1a ＝－k 2b ，如果a 、b 均为非零向量，与已知条件矛盾．如果a 、b 中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A 、D.把k 1a

＋k 2b ＝0两边平方得21k a 2＋22k b 2

＋2k 1k 2a ·b ＝0，因为k 1＝k 2＝0，所以a ·b 不一定等

于0，排除C. 答案：B

8．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 ( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)

解析：由题意设b ＝λa ＝λ(－1,2)． 由|b |＝35得λ2＝9.λ＝±3.

因为a 与b 的夹角是180°.所以λ＝－3. 答案：A

9．(2010·黄冈模拟)已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(1＋sin A,1＋cos A )，q ＝(1＋sin B ，－1－cos B )，则p 与q 的夹角是 ( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 解析：锐角△ABC 中，sin A ＞cos B ＞0，sin B ＞cos A ＞0，

故有p ·q ＝(1＋sin A )(1＋sin B )－(1＋cos A )(1＋cos B )＞0，同时易知p 与q 方向不相同，故p 与q 的夹角是锐角． 答案：A

10．已知非零向量AB ，AC 和BC 满足AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

+·

AC ＝0，且AC AC ·AC BC

＝22，则△ABC 为 ( )

A ．等边三角形

B ．等腰非直角三角形

C ．非等腰三角形

D ．等腰直角三角形

解析：AB AB 、AC AC 、BC

BC 均为单位向量．

由AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ +·BC ＝0，得|AB |＝|AC |. 由AC AC ·BC BC

＝1×1×cos C ＝22，得C ＝45°

. 故三角形为等腰直角三角形． 答案：D

11．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，

M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，

则MD ·

NC

的值为 ( ) A ．13 B ．26 C ．18 D ．36

解析：MD ·NC

＝(OD －OM )·(OC －ON )＝OD ·OC －OM ·OC －OD ·

ON ＋OM ·ON

＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°＋2×2cos180°＝26.

答案：B