水力学3.2流体运动的连续性方程
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3 流体运动学
流体多处于运动状态
本章主要任务:
研究各种水力要素随时间和空间变 化的情况,建立其关系式(基本方程), 并用其解决工程实际问题
3.2 流体运动的连续性方程
3.2.1 流体的连续性微分方程 3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
3.2.1 流体的连续性微分方程
推导的原理：流体的运 动也遵循质量守恒定律
( u y ) ( u x ) ( u z ) xyzt xyzt xyzt x y z ( t )xyz t
即得
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
微分形式: dQ= u1dA1=u2dA2 因为总流是由无数元流组成的,故对上式进行积 分,(其中A1,A2是总流的两个过流断面的面积)
dQ
A1 1
u dA1 A2 u2 dA2
为分析简便,采用总流分析法,即用断面平均流 速代替断面上各点不相等的流速
因为六面体很微小,所以其六 面上的各点在t 时刻的流速和 密度,可用泰勒级数展开,并略 去二阶以上的微分来表示,于 是,abcd, a'b'c'd'面上中心点 1,2的流速和密度分别为:
3.2.1 流体的连续性微分方程
流速 1点: 密度
u x x ux x 2 x x 2
3.2.1 流体的连续性微分方程
如图3.7，在流场中取一 个以M点为中心的各边分 别与直角坐标系各轴平行 的微小六面体，各边长 δx,δy,δz,其形心M(x，y， z)，t 时刻M点的流 速 u (u x , u y , u z )，密度ρ(x， y，z，t)
图3.7
3.2.1 流体的连续性微分方程
(3.22)
即为可压缩流体的欧拉连续性微分方程
3.2.1 流体的连续性微分方程
将上式进行展开,
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
(3.22)
u y u x u z ux uy uz ( )0 t x y z x y z
Q A udA V A dA VA
(3.28)
由此类推,
Q=A1V1=A2ຫໍສະໝຸດ Baidu2
(3.29)
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
Q A udA V A dA VA
(3.28) (3.29)
由此类推,
Q=A1V1=A2V2
(3.29)就是恒定总流的连续性微分方程 注:它既适合理想流体,也适用于实际流体,同 时,它也适用于非恒定流中任一瞬时的情况 若出现支流时,则
u y u x u z 0 x y z
(3.23)
不可压缩流体的欧拉连续性微分方程,对于恒定 流和非恒定流均适用.
注:除特别指出外,以后研究的,都是不可压缩的均质 流体
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
主流方向: 工程实际中,流体流动多数都是在某些 固定界面所限定的空间内沿某一方向 的流动.这一方向就是主流方向.
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
ρ1u1δA1=ρ2u2δA2 对于不可压缩的均质流体: 所以 u1δA1=u2δA2 因为uδA=δQ, 于是得: δQ= u1δA1=u2δA2 (3.24) ρ1= ρ2 (3.25) (3.26)
即为不可压缩流体的元流连续性方程 将式(3.26)写成微分形式: dQ= u1dA1=u2dA2
同理可得另两对平行面的净流入量分别为:
( u y ) y ( u z ) xyzt z
xyzt
3.2.1 流体的连续性微分方程
因为是连续介质,即质点间不存在间隙,按质量守恒 定律,流经以上三个方向的净流量之和应等于六面 体在同一时间内流体质量的增量(由密度增减产生 的)于是
2点:
ux
u x x x 2 x x 2
δt 时间内流过单位面积上的流体体积和质量如下: 体积 1点: 质量
u x x (u x )t x 2 ( u x ) x [ u x ]t x 2
2点:
u x x (u x )t x 2 ( u x ) x [ u x ]t x 2
主流流程不一定是直线,多数是曲线.
u2
δA2
u1
左图,取一微小流管,设流 动为恒定流, 流管形状不随时间而变 化.据流线的性质,没有 液体从四周出入.
δA1
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
δA较小,u 看成均匀分布,所以dt 时段, u2 从δA1流入的质量: δA2 u1dtδA1ρ1=ρ1u1δA1dt 从δA2流出的质量: ρ2u2δA2dt u1 因为是不可压缩的恒定流,所以流管内 δA1 的质量不随时间变化 ρ1u1δA1dt=ρ2u2δA2dt ρ1u1δA1=ρ2u2δA2 (3.24)
3.2.1 流体的连续性微分方程
因为面积很小,中心点1,2的水力要素可代表 平面的平均情况,于是 abcd面流入的液体质量, [ u x ( u x ) x ]yzt a'b'c'd'面流出的液体质量, 净流入量=流入-流出,
( u x ) xyzt x
x 2 ( u x ) x [ u x ]yzt x 2
d 因为 ux uy uz dt t x y z
即得
u y u x d u z ( )0 dt x y z
(3.22')
可压缩流体的欧拉连续性微分方程的另一表达式
3.2.1 流体的连续性微分方程
对于不可压缩流体,ρ=常数,(3.22)式可简化为:
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
如图3.8,若出现支流时,则 Q1+Q2=Q3=Q4+Q5
图3.8
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
例3.3
流体多处于运动状态
本章主要任务:
研究各种水力要素随时间和空间变 化的情况,建立其关系式(基本方程), 并用其解决工程实际问题
3.2 流体运动的连续性方程
3.2.1 流体的连续性微分方程 3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
3.2.1 流体的连续性微分方程
推导的原理：流体的运 动也遵循质量守恒定律
( u y ) ( u x ) ( u z ) xyzt xyzt xyzt x y z ( t )xyz t
即得
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
微分形式: dQ= u1dA1=u2dA2 因为总流是由无数元流组成的,故对上式进行积 分,(其中A1,A2是总流的两个过流断面的面积)
dQ
A1 1
u dA1 A2 u2 dA2
为分析简便,采用总流分析法,即用断面平均流 速代替断面上各点不相等的流速
因为六面体很微小,所以其六 面上的各点在t 时刻的流速和 密度,可用泰勒级数展开,并略 去二阶以上的微分来表示,于 是,abcd, a'b'c'd'面上中心点 1,2的流速和密度分别为:
3.2.1 流体的连续性微分方程
流速 1点: 密度
u x x ux x 2 x x 2
3.2.1 流体的连续性微分方程
如图3.7，在流场中取一 个以M点为中心的各边分 别与直角坐标系各轴平行 的微小六面体，各边长 δx,δy,δz,其形心M(x，y， z)，t 时刻M点的流 速 u (u x , u y , u z )，密度ρ(x， y，z，t)
图3.7
3.2.1 流体的连续性微分方程
(3.22)
即为可压缩流体的欧拉连续性微分方程
3.2.1 流体的连续性微分方程
将上式进行展开,
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
(3.22)
u y u x u z ux uy uz ( )0 t x y z x y z
Q A udA V A dA VA
(3.28)
由此类推,
Q=A1V1=A2ຫໍສະໝຸດ Baidu2
(3.29)
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
Q A udA V A dA VA
(3.28) (3.29)
由此类推,
Q=A1V1=A2V2
(3.29)就是恒定总流的连续性微分方程 注:它既适合理想流体,也适用于实际流体,同 时,它也适用于非恒定流中任一瞬时的情况 若出现支流时,则
u y u x u z 0 x y z
(3.23)
不可压缩流体的欧拉连续性微分方程,对于恒定 流和非恒定流均适用.
注:除特别指出外,以后研究的,都是不可压缩的均质 流体
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
主流方向: 工程实际中,流体流动多数都是在某些 固定界面所限定的空间内沿某一方向 的流动.这一方向就是主流方向.
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
ρ1u1δA1=ρ2u2δA2 对于不可压缩的均质流体: 所以 u1δA1=u2δA2 因为uδA=δQ, 于是得: δQ= u1δA1=u2δA2 (3.24) ρ1= ρ2 (3.25) (3.26)
即为不可压缩流体的元流连续性方程 将式(3.26)写成微分形式: dQ= u1dA1=u2dA2
同理可得另两对平行面的净流入量分别为:
( u y ) y ( u z ) xyzt z
xyzt
3.2.1 流体的连续性微分方程
因为是连续介质,即质点间不存在间隙,按质量守恒 定律,流经以上三个方向的净流量之和应等于六面 体在同一时间内流体质量的增量(由密度增减产生 的)于是
2点:
ux
u x x x 2 x x 2
δt 时间内流过单位面积上的流体体积和质量如下: 体积 1点: 质量
u x x (u x )t x 2 ( u x ) x [ u x ]t x 2
2点:
u x x (u x )t x 2 ( u x ) x [ u x ]t x 2
主流流程不一定是直线,多数是曲线.
u2
δA2
u1
左图,取一微小流管,设流 动为恒定流, 流管形状不随时间而变 化.据流线的性质,没有 液体从四周出入.
δA1
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
δA较小,u 看成均匀分布,所以dt 时段, u2 从δA1流入的质量: δA2 u1dtδA1ρ1=ρ1u1δA1dt 从δA2流出的质量: ρ2u2δA2dt u1 因为是不可压缩的恒定流,所以流管内 δA1 的质量不随时间变化 ρ1u1δA1dt=ρ2u2δA2dt ρ1u1δA1=ρ2u2δA2 (3.24)
3.2.1 流体的连续性微分方程
因为面积很小,中心点1,2的水力要素可代表 平面的平均情况,于是 abcd面流入的液体质量, [ u x ( u x ) x ]yzt a'b'c'd'面流出的液体质量, 净流入量=流入-流出,
( u x ) xyzt x
x 2 ( u x ) x [ u x ]yzt x 2
d 因为 ux uy uz dt t x y z
即得
u y u x d u z ( )0 dt x y z
(3.22')
可压缩流体的欧拉连续性微分方程的另一表达式
3.2.1 流体的连续性微分方程
对于不可压缩流体,ρ=常数,(3.22)式可简化为:
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
如图3.8,若出现支流时,则 Q1+Q2=Q3=Q4+Q5
图3.8
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
例3.3