泛函分析论文

泛函分析期中课程论文

泛函分析是一门非常有用的学科，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。现在主要总结第七章和第八章的知识体系。 度量空间是现代数学中一种基本的、重要的抽象空间，设X 为一个集合，若对X 中任意两个元素y x ,，都有唯一确定的实数对),(y x d 与之对应，而且这一对应关系满足下列关系：（I ）0),(≥y x d ,且0),(=y x d 当且仅当y x =；（II ）),(),(),(z y d z x d y x d +≤，则称X 是度量空间，常见的度量空间有：（1）n 维度量空间；（2）离散的度量空间；（3）序列空间S ；（4）有界函数空间B （A ）；（5）可测函数空间m(X )；（6）Ｃ],[b a 空间；（7）2

l 。

一、度量空间的极限、稠密集、柯西点列 1、度量空间中的极限：设{}n x 是),(d X 中点列，如果存在

X x ∈，使0),(lim =∞

→x x d n n ，则称点列{}n x 是),(d X 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限，设M 是度量空间),(d X 中的点集，如果M 中任何收敛点列的极限都在M 中，那么称M 是闭集。2、稠密集：设X 是度量空间，M 和E 是X 中两个子集，令—

M 表示M 的闭包，如果⊂E —M ，那么称集M 在集E 中稠密，当X E =时称M 为X 的一

个稠密子集。3、柯西点列：设{}n x 是度量空间),(d X 中的点列，

若∀0＞ε，∃N ∈N,使当m,n ＞N 时，有ε<）（n m x d ,x ，称{}n x 是度量

空间),(d X 中的柯西点列。

二、下面总结五种重要的度量空间：

1、可分空间：如果度量空间X 有一个可数的稠密子集，则Ｘ是可分空间，常见的可分空间有：（1）n 维度量空间，（2）可数的离散度量空间。

2、完备度量空间：若X 中的任一Cauchy 列都在),(d X 中收敛，则度量空间),(d X 是完备的度量空间。常见的完备度量空间有：（1）∞l （2）C （3）],[b a C ，不是完备度量空间的有：],[b a P ，相关的定理有：（1）完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的闭子空间

2、线性空间：设X 是一非空集合，若X 中的元素满足（1）关于加法成为交换群；（2）对于X 中每个元素x ∈X ，存在X u ∈，满足1）x x =1 2）x ab bx a )()(= 3）ay ax y x a bx ax x b a +=++=+)(,)(则称Ｘ按上述加法和数乘运算成为线性空间；常见的线性空间有：1） n R 2）],[b a C 3）空间p l

3、赋范线性空间：设X 是数域K 上的线性空间，若∀

x ∈X ，都有一个实数||x ||与之对应，使得∀x ,y ∈X ，α∈K ，且满足（１）||x ||≥0，||x ||=0⇔x=0；（２）||αx||=|α| ||x ||；（３）||y x +||≤||x ||+||y ||，则称||x ||为x 的范数，X 按范数

||x ||成为赋范线性空间。常见的赋范线性空间：1）n R ； 2）空

间],[b a C ； 3）空间∞l ，重要的定理有：

1）当p

p b a p p dt t f f b a L p 1)|)(|(||||],[1⎰=≥按时，中范数p f ||||成为赋范线性空间；2）设X 是n 维赋范线性空间，

},...,{2,1n e e e 是X 的一组基，则存在常数M 和'M ，使得对一切k n k k e x ∑==1ε成立，||||)||(||||M '2

12n 1k k x M x ≤≤∑=ε

5、巴拿赫空间：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。两个重要

的巴拿赫空间是：1）空间],[L p

b a 2）空间p l ，重要的推论有：1） 设在有限维线性空间上定义了两个范数||||x 和1||||x 那么必存在常数

M 和'M ，使得||||||||||||'1x M x x M ≤≤；2）任何有限维赋范线性空间都和同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。

三、连续映射、压缩映射、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）

1、连续映射：设 T 是度量空间),(d X 到度量空间Y =)~,(d Y 中的映射，那么T 在0x ∈X 连续的充要条件为当)(0∞→→n x x n 时，必有y x n Tx Tx n ,)(0∞→→；

2、压缩映射：当T 是X 到X 的一个自映射，若存在常数α（0＜α＜1），使对∀

x , y ∈X ，有(d T x ,T y ）≤αd (x , y ),则称T 为X 上的压缩映射。重要定理： 1)设函数),(y x f 在带状域∞<<-∞≤≤y b x a ,中处处连续，且处处有关于y 的偏导数),('y x f y ，如果还存在常数m 和M ，满足

M,m M,),(m 0'<≤≤

3、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程

T X =X 有且只有一个解）；

四、线性算子、有界线性算子和连续线性泛函

1、线性算子：假设X 和Y 是两个同为实的线性空间，D 是X 的线性子空间，T 是D 到Y 中的映射，如果对任何y x ,∈D 及α，有Ty Tx y x T +=+)(，Tx x T αα=)(,则称T 为D 到Y 中的线性算子。

2、有界线性算子和连续线性泛函：设X 和Y 是两个赋范线性空间，T 是X 的线性子空间D （Ｔ）到Y 中的线性算子，如果存在常数Ｃ，使对所有||||||||),(x c Tx T D x ≤∈有，则称T 是)(T D 到

Y 中的有界线性算子。

重要性的定理有：１）设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则Y 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子；２）若X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间)(f N 是X 中的闭子空间。

五、有界线性算子空间和共轭空间

1、有界线性算子空间：设X 和Y 是两个赋范线性空间，以)(Y X →β表示X 到Y 中有界线性算子全体，当B A 和属于)(Y X →β，α是所讨论的数域中的数时，定义)(Y X →β中加法运算及数乘运算：对任意Ax x A Bx Ax x B A X x αα=+=+∈)(,)(,令，则)(Y X →β按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。

2、共轭空间：设X 是赋范线性空间，令X '表示X 上连续线性泛函全体

所成的空间，称为X 的共轭空间。常见的例子：1）1l 的共轭空间是∞

l ；