经济数学基础(微积分)讲义全

经济数学微积分学习讲义

合川电大兰冬生

知识点一：5个基本函数

1，常数函数，c y = （c 是常数）

例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。 2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，

注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此

3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”

这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，

e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是

x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，

特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。 ● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成

632-+=x x y 。

知识点二：极限

1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数

列。数学符号记为：}{n a

例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 2

1

变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限

学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）

例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001

，

100000000

1

，……，最后，这个无限数列趋近于0，

这里，我们简单描述这个变化，

∞→n

01

→n

分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。是指数轴

的最远端。 用极限式写为：

1=n 例如：

1，21，41，81，……，这个数列由n 21

，n 取0,1,2,3,4，……得到，

∞→n

∞→n 2

021

→n

分母越大，分数越小 用极限式写为

1lim =∞→n

例：求极限11

lim

+∞→n

n 分析：∞→n

01

→n 111

→+n

所以，解为

解：11

lim +∞→n

n =1 例：求极限n n n 3

2lim +∞→

分析：n n n 32lim +∞→可变为n n n n 32lim +∞→，继续n n 3

2lim +∞→

∞→n

03

→n

分子是数，分母是无穷大，一个固定数与无穷大相比，固定数显得太小太小，忽略不计， 23

2→+

n

不是所有数列都有极限，

极限存在是指数列趋近于一个固定数，不趋近一个数，说极限不存在。 例如：∞→n 时，∞→n 2，所以n n 2lim ∞

→不存在，

极限存在，称数列收敛，不存在，称为发散。

函数的极限，就是把前面的n 看成是可取任何数的x 就可以了。

例如：求极限x

x x 3

2lim

+∞→，

分析：理解为∞→x 时，?3

2→+x

x

x x x x x x 3

23232+=+=+ ∞→x 03

→x 分母越大，分数越小 23

2→+x

所以23

2lim =+∞→x x x

函数在某一点的极限 如图：函数x

y 1

=

函数在这一点1=x 不取值，x 的取值可无限靠近1，于是就有函数在一点的极限，

x

x 1lim 1→这个极限的意思是：

1→x 当x 无限靠近1时，也说x 趋近1 ?1→x x

1

趋近于多少 从图上看得出y 值x 1

趋近于1

函数在一点的极值记为：

A x f x x =→)(lim 0

，A 是函数)(x f y =在点0x 处的极限值，是一个趋近值。

例：求极限1

1

lim 21--→x x x ，

这是一类直接带入分母为0的极限，这类极限需要分解因式约去为0分母，然后直接带入求值。

分析：直接带入，分母为0，于是对分子分解因式，

11

)1)(1(112+=--+=--x x x x x x ，所以，11

lim 21--→x x x =

lim 1→x

x 考题分析：

计算极限22412

lim 54

x x x x x →---+。

解：3

7

)1)(4()3)(4(lim 4512lim 42

24=--+-=+---→→x x x x x x x x x x 计算极限22256

lim 68

x x x x x →-+-+。

解：2

1

43lim )4)(2()3)(2(lim 8665lim 222

22=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 计算极限)4

4

21(

lim 22

---→x x x 解 )4

4

21(

lim 22

---→x x x =)44)2)(2(2(

lim 22--+-+→x x x x x = )2)(2(2lim

2-+-→x x x x = 4

1

)2(1lim

2=+→x x *：求函数在某一点的极限：1，带入分母不为0，就直接带入求值。

2，带入分母为0，先分解因式，约掉为0分母，然后带入求值。

关于∞→x 求极限的一般方法 比较分子和分母最高次项系数，

1，分子最高次项指数小于分母最高次项指数，极限为0 2，分子最高次项指数等于分母最高次项指数，极限为系数比 3，分子最高次项指数大于分母最高次项指数，极限不存在

例：求极限lim →x 分析：当∞→x 时，3x 远比2x 大。比3x 指数小的，都可以视为0，因此，这个极限分母远比分子大，极限值是0。