matlab有限域上的运算
1有限域基础知识
1、1有限域(Galois域)得构造
令"为一个素数、则对任意得一个正整数力，存在一个特征为〃，元素个数为pn得有限域GF(0)、
注：任意一个有限域,其元素得个数一定为P/7,其中p为一个素数(有限域得特征)，斤为一个正整数、
例1 (有限域GF(p))令p为一个素数，集合
GF ( /?)=Zp= { 0 , 1, 2,...,卩-1}、
矗在GF (p)上定义加法十与乘法O 分别为模p加法与模p乘法，即任意得u,bWGF (p),
a 十
b =(a+b) mo d /?, aQb=(a-b)modp
则〈GF(p),十，O＞为一个有p个元素得有限域,其中零元素为0, 单位元为 1、令a为GF(p)中得一个非零元素、由于gcd (a, p)=l,因此，
存在整数b, c,使得a b+pc= 1、曲此得到a得逆元为a-\- Amo d p、
域G 7T( p )称为一个(prime field)、
例注1:给定a 与p,例1中得等式ab+pc=\可以通过扩展得欧儿
里得除法得到，从而求得GF (p)中任意非零元素得逆元、 例2 (有限域GF(pn)) 从GF (p)出发，对任意正整数n,n>2.我们
可以构造元素元素个数为pn 得有限域GFg 如下：
令g (x)为一个GF(p)上次数为得不可约多项式，集合
GF (pn) =GF(p) [x] /〈&(x) 〉= { ao+ a ix+t/2 x 2 +???+u/7 -\Xn-\ I Ui
GF (p),0 A 在G F (pn)上定义加法 十 与乘法G)分别为模g(Q 加法与模g (x)乘法，即任意得a (x) ,b (x) WGFg , a (x)十 b (x)= a (x) +b (x) , a (x) G)b( x)=(a(x)?b(x)) modg( x) 亠则〈GF ( Pn)，十，O>为一个有pn 个元素，特征为P 得有限域，其 中零元素为GF (p)中得0,单位元为G F{p )中得1、 中得一个非零元素、由于gcd@ (x) ,g (x)) GF( p)上得多项式 b( x), c ( x ),使得 a(x)b(x) S (x)、 域 GF(p n)称为 G F (p)得(刃次)扌.(ext ension f i e Id),而 GF (/?) 称为 GF( p n)得 (subfield) > 例注2.1：给定GF(p)上得多项式ci(x)与 呂(X),例2中得等式a( x)b (x)+g(x)c( AT )=1可以通过扩展得欧儿里得除法得到，从而求得GF(p?) 中任意非零元素得逆元、 例注2、2:设 G F J q)就是一个含有q 个元素得有限域、对任意正整 数a, GF (q)上得n 次不可约多项式一定存在、 更进一步,GF (g)上 首项系数为1得/?次 令 a { x )为 GF (pn) =1,因此，存在 +g (x) c (x) =1、 由此得到G( X ) 得逆元为 a-\{x)=b (x)mod 不可约多项式得个数为 N q (n)= 1 叶牙加〃(n d) q d-1 ri^d I njti (d)qnid A其中,U为iMoebi u s函数，定义为 JU ( m)= I I I 1 (-1 ) k 0 如果加=1 如果tn=p 1 p2???p k,其中pi, 02,..., /u为互不相同得素数其它 1、2有限域得性质 令GF (?)就是一个含有q个元素得有限域，F沪GF ( Q)\ {0}为有限域GF(Q) 中所有非零元素构成得集合、则在乘法之下吊“就是一个有限循环群、循环群F* q得一个生成元称为有限域GF(q)得一个彳、原 、 若aWGF(q) 为一个本原元，则 G F⑷={0, a2久厂2} A并且1=1,即 ag=a、定义:设GF ( q)就是一个含有q个元素得有限域，GF (p)就是GF (q)得一个含有P个元素得子域(卩不一定为素数),?eGF( q).则GF(p)上以a 为根，首项系数为1,并且次数最低得多项式称为a在GF(p)上得;■及小；1二1 弋(m i n i ma 1 p o lynomial of a o v er G F(p))、 特别地，若oW G F J q\为GF (q)得一个本原元，则a在GF ( p ) 上得极小多 项式称为GF(P)上得一个忙原幻丿!_ (primiti ve poly nomial f or GF(q) ov e r GF (p))、 定义注1:对任意得炸 G F (q) , a在GF (p)上得极小多项式存在并且唯一，并且a在GF(p)上得极小多项式为GF (p)上得一个不可约多项式、 定义注2 ：设ae GF( q),则a与勿在 GF(p)上具有相同得极小多项式、更进一步，集合 B (a) ={a,ap, api, a P3, …, 4中得元素具有相同得极小多项式、设q=pn,则ap,尸a、因此，集合B (a)中互不相同得元素得个数(记为r)不超过刀、可以证明,a为G F (q)得一个本原元当且仅当厂=刃、 定理:设GFJq)就是一个含有q个元素得有限域,G F(p)就是GF(q) 得一个含有p 个元素得子域、设ae G F(q)为满足得最小正整数、则a在GF(p)上得极小多项式g{x)就是一个r次不可 约多项式，并且 亠中得元素为 &(x)在GF (q)上得所有不同得根，即 g ( x) = ( x—a)(x—ap) ( x—api) …(x—api)、 注：r得计算方法如下:设a苍.F* q中得阶为k、集合 Z *?= [m I 0 A在模k乘法运算下就是一个含有cp ( k)个元素得有限群(其中(p为欧 拉(Euler)函数)、则厂等于pmodk在 Z祕中得阶、 推论:设G F(q)就是一个含有q个元素得有限域,GF(p)就是 GF( q )得一个含有 P个元素得子域、设|GF(q)l=p“，即q=p, 设GF⑷为GF(q)得一个本原元，则G(在GF( 0 )上得极小多项式g (x)得次数为仏并且 g (x)= (x-a) ( x-ap) (x-?p2)…(x-a“”-i)、 *更进一步，a, ap, api,…,內心均为GF(q)得本原元、 注:设GF(p)就是一个含有/?个元素得有限域，n就是任意一个正整数, 则GF (p)上得n次本原多项式一定存在、更进一步，GF(p)上得首项系数为1得n次本原多项式得个数为卩1)小其中(p为欧拉函数、例3考虑二元域GF(2 )上得不可约多项式p(a)=a3+a+ 1，构造有限域