热辐射计算

q E AG Eb AG
合并消去 G 得：
J

A
Eb

1 A
1q
对于灰体， A ，式（12-37）可改写为：
（12-37）
J

Eb


1
1q
（12-38）
或： Q qF Eb J
1 F
（12-38a）
式（12-38a）同样可用电路模拟，其等效电路如图 12-30 所示，称为表面网络 单元。图中 (1 ) F 称为表面辐射热阻，简称表面热阻。可以看出，表面热阻是 由于表面为非黑体而形成的。对于黑体（ε=1），表面热阻为零，此时 J Eb ， 即黑体的有效辐射等于其自身辐射。在讨论灰体间的辐射换热时，如果用有效 辐射 J 代替 Eb ，空间网络单元（图 12-28）就可用于灰体间的辐射换热。
2 dF1
2
0
0
(12-16)
黑体的辐射力 E 是其辐射强度 I 的 π 倍，同时也表明黑体的辐射强度仅随其绝对
温度而变化。
➢ 基尔霍夫定律 Kirchhoff
热平衡时，任意物体对 黑体投入辐射的吸收 比等于同温度下的该 物体的发射率。
q E Eb 0
E


Eb
E
将式（12-34）改写为：
Q12

Eb1
Eb2 1
（12-35）
F112
与欧姆定律相比，辐射换热量Q12 相当于
电流； Eb1 Eb2 相当于电位差；1 F112 相当于
电路电阻，称为辐射空间热阻（简称空间热
阻），它取决于表面间的几何关系，与表面的
辐射特性无关。图 12-28 是式（12-35）的等
效电路，称为空间网络单元。
6 灰体表面间的辐射换热
一般工程物体在红外辐射范围内都可以近似作为灰体处理，因此，研究灰体表面间的辐射换热有着重要的实际 意义。本节介绍被透明介质（或真空）隔开的灰体表面间的辐射换热，如物体在空气中的辐射散热，电阻炉内的辐 射换热等情况。灰体表面间的辐射换热要比黑体表面间的辐射换热复杂，因为灰体只吸收一部分外界投来的辐射能， 其余部分则反射出去，而且这种吸收和反射要无穷多次才能完成。为了使分析简化，引用有效辐射的概念。此外， 在讨论中作如下假设：辐射换热是稳态的；各物体表面均为漫辐射灰表面；各表面温度均匀。
E

dQ
dF1d
辐射强度：单位时间内，与某一辐射方向垂直的单位辐射面积在单位立体角内发射的全部波
长的辐射能量称为辐射强度，用符号 I 表示，单位为 W /(m2·sr)。如图所示；对于微元面积 dF1 在 θ 方向的辐射强度为：
I

dQ
dF1 cosd
式中，dF1cosθ 是微元面积 dF1 在垂直辐射方
一个凹面和一个平面的情况。而其中任一面对 f 面的角系数也就是它对另一面
的角系数，因此：
12 1 f
f F1
21 2 f

f F2
由角系数的完整性11 12 1得：
11
1
f F1
同理：
（12-32） （12-32a）
22
1
f F2
(4)由三个凸面组成的封闭空间，（假定在垂直于纸面方向足够长），如图 12-25
3 角系数的确定方法
求角系数的方法有多种，工程计算中常用的是积分方法和代数分析法。 3.1 积分法：
积分法即利用式（12-26）直接积分求得表面间的角系数。
3.2 代数分析法 代数分析法主要是利用角系数的性质，用代数方法确定角系数。这种方法简单，可以 避免复杂的积分运算，也可扩大前面介绍的图线的应用范围，但也有源自文库限性。下面列 举几种简单的、但也是工业上常见的情况来说明这种方法：
或： ij Fi ji F j
n
（2）完整性。设有 n 个等温表面组成的封闭空间则： 1 j 11 12 1n 1 j 1
（3）和分性。如果： F(12) F1 F2 那么：
F3 3(12) F3 31 F3 32 F 和： (12) (12)3 F113 F2 32
Eb
REVIEW
1 角系数的定义
由表面 1 投射到表面 2 的辐射能量Q12 占离开表面 1 的总辐射能 Q1 的份额称为表面 1 对表面 2 的角系数，用符号12 表示，即：
12

Q12 Q1
（12-25）
设有两个任意放置的表面 F1、F2 ，它们的温度分别
为 T1 和T2 。为了讨论方便起见，假定这两个表面均为 黑体。从两表面分别取微面 dF1 、dF2 ，其距离为 r，表 面的法线与连线之间的夹角为1 、 2 ，如图 12-17 所
热工基础——热量传输
主讲教师：王振峰
wangzf@zzu.edu.cn
REVIEW
立体角与距离无关（单位是立体弧度sr）
REVIEW
方向辐射力：单位时间内物体的单位表面积在某一方向的单位立体角内所发射的
全部波长的辐射能量称为方向辐射力，记为 Eθ，单位为 W/(m2·sr)。如微元面积 在单位时间内沿 θ 方向的立体角 dω 内发射的辐射能量为 dQ，如图所示，则：
供计算时查用。
3.2 代数分析法 (1) 两个相距很近的平行表面组成的封闭 空间，如图 12-24a 所示。 F1、 F2 均为平面在为不可自见面，根据角 系数的定义，11 22 0 。由角系数的完 整性可得：
11 12 1
故：12 1 ， 21 1
(2) 一个凹面与一个凸面或平面组成的封闭空间，如图 12-24b、图 12-24c 所示。
由黑体表面辐射力E与辐射强度I的关系
I

dQ
dF1 cosd
E

dQ
dF1d
REVIEW
可得：
dQ dF1
I
cosd E d
根据辐射力定义，将上式在半球空间(ω=2π)积分，并代入 dω=sinθdθdφ，得：
E
dQ I
2

cosd I d 2 cos sind I
表面网络单元和空间网络单元是辐射网络的基本单元，不同的辐射换热系 统均可由它们构成相应的辐射网络。这种利用热量传输和电量传输的类似关系， 将辐射换热系统模拟成相应的电路网络，通过电路分析求解辐射换热的方法称 为辐射换热的网络方法。
6.2 两个灰体表面间的辐射换热
图 12-31a 表示两个灰体表面 F1 和 F2 构成的封闭系统。它们的温度分别为T1 和 T2 ，且 T1 ＞T2 。下面讨论用网络方法求
示。有效辐射可表示为：
J E RG Eb (1 A)G
（12-36）
有效辐射是单位时间内离开物体单位面积的总辐射能量，
也是用仪器可测量出来的物体实际辐射的能量。
由图 12-29 可知，该物体与外界的辐射换热通量可从两方面去研究。从物体
与外界的热平衡看：
q J G
从物体内部热平衡看：
例 12-2 用热电偶测定管道中的废气温度，设管道长 2L，半径 R，热电偶热接点可视为半径等
于 rc 的小球，并置于管道中心，如图 12-20 所示。试计算热接点对管道壁的角系数12 ？
解：离管道中心截面 l 处取管壁的微元面dF2 2Rdl ，热电偶接点表面积 F1 4rc2 ，而微元表
L 2R2dl L (R2 l 2 )3 2

1
4

(
R
2
2l
L

l
2
)1
2

L

L
(R2 l 2 )1 2
由上式不难看出，当 L 很大或 R 很小时，12 1，这表明离开热电偶接点的辐射能量几乎全 部落在管壁上。由于积分法求角系数比较复杂，所以经常将角系数的积分结果绘成图线，以

F1
F2 2F1
F3
13

F1
F3 2F1
F2
（12-33）
23

F2
F3 2F2
F1
根据相对性原理，很容易求出21 和31 、32 。
5 两个黑体表面间的辐射换热
由于黑体表面的吸收率 A=1，黑体表面间的辐射换热计算比较简单。假定两个黑体的表 面积分别为 F1和 F2 ，温度为T1 和T2 ，且 T1 ＞T2 表面间的介质对热辐射是透明的。如果这两 个黑体表面之间的角系数分别为12 和21 ，按照式（12-25），单位时间内由 F1面投射到达 F2 面的辐射能为 Eb1F112 ，而由 F2 面投射到达 F1面的辐射能为 Eb2 F221 。因为这两个表面都是黑 体，到达它们上面的辐射能将全部被吸收，所以 F1和 F2 的辐射换热量 Q12 为：
面即小球的投影面积dF1 rc2 为定值，且始终与连线 r 垂直，故cos1 1 ，应用式（12-26）得：
12
1 F1
F1 dF1
F2
cos 2 2Rdl r 2
因 cos 2

R r
，r

(R2 l 2 ) ,代人上式后得：
12

rc2 4r 2
12
Q12 Q1

Eb1
F1
cos1 cos 2
F2
r 2
Eb1 F1
dF1dF2
1
F1 F1
F2
cos1 cos 2 r 2
dF1dF2
（12-26）
同理可推导出：
12
1 F2
F1
F2
cos1 cos 2 r 2
dF1dF2
（12-26a）
31F3 32 F3 F3
根据相对性原理，式（12-33a）中六个角系数可以简化成三个，即：
12 F1 13 F1 F1
12 F1 23 F2 F2
（12-33b）
13 F1 23 F2 F3
求解联立方程组（12-33b），得三个未知的角系数：
12
6.1 有效辐射和辐射换热的网络方法
对于温度为 T、发射率为 ε 的物体，如图 12-29 所示，我
们定义：单位时间内单位物体表面积发射的辐射能称为自身辐
射，实际上它就是物体的辐射力 E(W / m2 ) ；在投射辐射中被吸
收的部分 AG 称为吸收辐射；被反射的部分 RG 称为反射辐射。
物体的自身辐射和反射辐射之和称为物体的有效辐射，用 J 表
所示。因三个表面均不可自见，即ii 0 。由角系数的完整性可写出：
12 13 1
21 23 1
31 32 1
将以上三个等式两边分别乘以 F1、 F2 和 F3 ，得：
12 F1 13 F1 F1
21F2 23 F2 F2
（12-33a）
式（12-26）和式（12-26a）称为角系数的积分公式。可以看出，角系数仅与两个表面
的形状、大小、距离及相对位置有关，而与表面的发射率和温度无关，所以角系
数纯属几何参数，它不仅适用于黑体，也适用于其他符合漫辐射及漫反射的物体。
2 角系数的性质
REVIEW
（1）相对性。 12 F1 21F2
因 F1为不可自见面，11 0 ，由角系数的完整性得：
12 1
12 21 1
由角系数的相对性12 F1 21F2 ，可得：
21

F1 F2
22
1 21
1
F1 F2
(3)两个凹面组成的封闭空间，如图 12-24d 所示。
在两四面的交界处做一假想面 f，显然 f 就是交界处面积，这样就将问题转化成
Q12 Eb1F112 Eb2 F2 21
利用角系数的相对性 F112 F221，故上式可写为：
Q12 (Eb1 Eb2 )F112
（12-34）
或写成：
Q12

C
0

T1 100
4

T2 100

4

F112

（12-34a）
示。根据式（12-7），从dF1 投射到 dF2 上的辐射能为：
Q12 Ib1 cos1dF1d1
因为 I b1

Eb1
， d1

dF2 cos 2 r2
，所以：
Q1 2

Eb1 cos1 cos 2 r 2
dF1dF2
根据角系数的定义，由表面 F1对表面 F2 的角系数为：
向上的投影面积，称为可见辐射面积。
REVIEW
12.2.4 兰贝特定律
REVIEW
黑体在某一方向上的方向辐射力 Eθ 正比于该方向与法线方向夹角的余弦，其数学表达 式为：
Eθ=Encosθ
(12-14)
法线方向（θ=0）的方向辐射力最大，当 θ=90º时方向辐射力最小并等于零，故兰贝特定
律又称余弦定律。兰贝特定律揭示了黑体表面发射的辐射能在空间分布的规律。