圆锥曲线中三角形面积求法

圆锥曲线中三角形面积的求法

欧阳亮

求三角形的面积，在高中有三个常用方法。这三个方法已足够解决所有高考范围内的试题。我在本文中，将说清以下2点：第一，介绍这三个方法；第二，揭示这三个方法的应用范围。

三角形面积求法：

先来看个例题： 举例1：已知椭圆11

222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积

解析：由于直线恒过点F 1

适用第三种方法补形或拆分，

2121F BF F AF S S S ∆∆∆+=，

则21212

1y y F F S -=∆ 又直线AB l 方程为022=++y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=11

22222y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(212

2121=-+=-y y y y y y

9

104212121=-=∴∆y y F F S 练习：已知椭圆11

222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABO 的面积范围

解析：由于直线恒过点P

适用第三种方法补形或拆分，

假设点A 在点B 上方，

有2BOP AOP S S S ∆∆∆+=， 则212

1x x OP S -=∆

设出直线方程并与椭圆联立，应用韦达定理即得结果。

举例2：已知椭圆123:2

2=+y x C 上一点),(n m M ，直线1:=+ny mx l ．求点M 使得l 交圆122=+y x 于A ，B 两点，且ABO S ∆面积最大．

分析：ABO S ∆中知道OA 与OB 边的长，所以适合方法二，C ab S sin 2

1= 解析： 由于AOB OB OA S ABO

∠=∆sin ||||21 2

1sin 21≤∠=∆AOB S ABO 当︒=∠90AOB 时取等，

则ABO ∆为等腰直角三角形，

O 到1:=+ny mx l 距离为2

1 有：211

22=+=n m d 所以222=+n m

又),(n m M 在椭圆上，

所以1232

2=+n m 联立即解得点M 坐标。

上两题，用第一种方法也能做出答案，但是相对来说要复杂的多，特别是第二题。

圆锥曲线尽管大都是运算题，但是怎么算，如何算也很重要。好的方法会令解题简单无比，而不合适的方法，会让人陷入繁杂的计算而不能自拔。