高斯投影坐标计算

由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系 数的递推公式
dn0 M n1 N cos B dx 1 N c o s B d n1 n2 2 M dx dn2 M n3 3 N cos B dx
n0=? 当 y=0时，x=X B=n0=Bf ，
３) 由第二条件（x 轴上长度投影保持不变）可知， 当y=0 时，x=X（ 等于投影前从赤道量至该点的子午弧长）；此 时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度，用Bf。
高斯投影的特点分析
(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值 减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说， 椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后， 均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还 对称于中央子午线和赤道。 (2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都 增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投 影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影 曲线互相垂直凹向两极。
2 2 2
y (1 ( a 3 a 5 l ) l ) lN cos B
实用公式的系数
N a 0 a4 a6 a3 a 5 6399596 . 652 [ 21565 . 045 (108 . 996 0 . 603 cos 32144 . 5189 [135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos ( 0 . 25 0 . 00253 cos ( 0 . 167 cos
2) 由第三个条件即正形条件可知
y l x q 和 x l
B

y q
顾及到：
dq
M dB N co s B
x M y B N co s B l y M x
N co s B l
dn2 2 dn4 4 N co s B d n0 2 4 y y ( n1 3 n 3 y 5 n 3 y ) dx dx dx M 2 n y 4 n y 3 N co s B ( d n1 y d n 3 y 3 d n 5 y 5 ) 2 4 M dx dx dx
(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈 厉害，长度变形也愈大。
谢谢!
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
B n0 n2 y l n1 y n 3 y
2
n4 y n5 y
4

3
5
分别对x和y 求偏导数
n 0 , n1 , n 2 , n 3
是 待 定 系 数 ， 它 们 都 是 纵 坐 标 x的 函 数
1、高斯投影坐标正算公式
一、什么是高斯投影坐标正算
已知椭球面上的大地坐标B、L，求高斯平面坐标x、y 的问 题称高斯投影坐标正算。 函数式： （1）一般的 x=F1(B,L) ， y=F2(B,L) (2) 一带上， 令l =L-L0 ，x=F1(B,l) ， y=F2(B,l)
高斯投影必须满足以下三个条件
l 4
4
)
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y ) 函数式： l 2 ( x, y ) 同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
m1
dm 0 dq
m2
1 dm 1 2 dq
m3=
1 dm 2 3 dq

m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
即当 l=0 时,
dm 0 dm 2 2 dm 4 4 2 4 l l m1 3m 3l 5m 5l dq dq dq 2m l 4m l 3 dm 1 l dm 3 l 3 dm 5 l 5 2 4 dq dq dq
(1 2 t
f
2 f

2 f
)y
3

cos B
2 f
(5 28t
f
6
2 f
24t
4 f
cos B
8t f
2
2 f
)y
5
B，l 的单位为弧度。
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
高斯投影坐标计算
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
n1 , n 2 , n 3 , n 4 , 所 有 系 数 可 以 看 成 底 点 纬 度 的 函 数 。
因为 所以
dX M f dB
n1 M N
f f
dB
f
f

1
1 M
f
dX
1
f
N
f
co s B f M
co s B f
n2 2M f N f tf 2 2 2 2 , n 4 (5 3t f f 9 t f f ) 3 24 M f N f tf 2 4 (61 90t f 45t f ) *n6 5 720 M f N f 1 2 2 n3 (1 2 t f f ) 3 6 N f cos B f tf 2 2 4 2 n ( 5 2 8 t f 6 f 2 4 t f 8 t f 5 5 120 N f cos B f
2
)
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
x X N 720 N 2
5
sin B co s B l +
2
N 24
sin B co s B ( 5 - t 9 4 ) l +
3 2 4 4 2 4 6
sin B co s B ( 6 1 - 5 8 t t ) l
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
m0 X
高斯投影坐标正算
dm 0 dq = dX dB dB dq = M N co s B M = N co s B , m 1 = N co s B = c V co s B
子午线曲率半径
m2 N 2
等量纬度定义式
sin B co s B
N 3 2 2 m3 c o s B (1 t ) b N 3 2 s in B c o s B ( 5 t 9 m4 24 N 5 2 4 m5 cos B (5 18 t t ) 120
B ) cos
B
N b2 b3 b 4 b5
N
f
y cos B f cos
2
( 0 . 5 0 . 00336975
B f ) sin B f cos B f 0 . 001123 cos
2 2 2 2
0 . 333333 ( 0 . 1666667
B f ) cos
2
2
Bf
0 . 25 ( 0 . 161612 0 . 005617 cos 0 . 2 ( 0 . 16667 0 . 00878 cos
B f ) cos Bf
Bf
B f ) cos
4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
• 迭代计算公式： • （6-44） • 其中迭代初始值： • （6-45） • 迭代停止限差： • （6-46）
2 f
)
B Bf
tf 2M tf
f
y
2
tf 24 M
2 f
N
f
N
3 f
(5 3t f
2
2 f
9 f t f ) y
2 2 4
720 M
l N
f
f
N
5 f
(61 90t f 45t f ) y
4
6
1 cos B 1 120 N
5 f f
y 6N
1
3 f
x m
0
m
l 2
2
m
l 4
4

y m 1l m 3 l
3
m 5l
5
式中m 0 , m 1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y l x q x l y q

和

分别对l 和q求偏导数并代入上式得
dm 0 dm 2 2 dm 4 4 2 4 m1 3m 3l 5m 5l l l dq dq dq 2m l 4m l 3 dm 1 l dm 3 l 3 dm 5 l 5 2 4 dq dq dq
y N co s B l N 120
5
N 6
co s B (1 t ) l +
3 2 2 3 2 4 2 2 2 5
co s B ( 5 1 8 t t 1 4 5 8 t ) l
高斯投影正算公式的几何解释
x X (m = X+ X l 2
2
m
2 2 2 2
B ) cos
2
2
B ] cos
2
2
B
B ) cos
B ] cos
B
B ) cos
2
2
B 0 . 04167 B ) cos
2 2
B 0 . 083 ) cos
B
2
( 0 . 3333333 0 . 001123 cos
B 0 . 1666667
2
0 . 00878 ( 0 . 1702 0 . 20382 cos
B B = B (n2 y B
2
f
n4 y
4
)
f
Bf
P″(0,Bf)
3、高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
x 6367452 . 1328
2
B

2
( a 0 ( 0 . 5 ( a 4 a 6 l ) l ) l N ) cos B sin B