5.4 不定积分在经济中的应用举例

因为
Q(t ) 136t 20
,所以 (C为任意常数)
Q(t ) (136 t 20 )dt 68t 2 20t C
又因为 t 0时，Q 0 ，代入上式得Ｃ＝０．
故所求总产量函数为
Q(t ) 68t 2 20t
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
p 为单价(单位:元/件).又已知此种商品的边际成本
x
为需求量
为 C( x) 10 0.2 x,且C(0)=10,试确定当销售单价为多少时,总利 润为最大,并求出最大总利润.
分析:
(1)边际成本－即成本函数的导数; (2)假设商品的需求量 x =商品的销售量 x ;
(3)利润=收益-成本
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例3 解：
因为 R ( x) 200
x , 所以 100
2 x x R( x) R( x)dx 200 C dx 200x 100 200
(C为任意常数)
又因为x
0 时，R 0 ，代入上式得Ｃ＝０．
x2 R( x) 200x 200
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
所以总收入函数为
经济数学
3. 方法应用
例4 已知某商品的最大需求量为A(即价格为零时的需求量),有关部门
p 给出这种商品的需求量 Q 的变化率模型为 Q( p) A ln 2 ( )
（也称边际需求），其中 p 表示商品的价格,求这种商品的需求函数.
经济数学
3. 方法应用
例3 已知某产品生产 x 个单位时总收入R的变化率为
x R ( x) 200 ( x 0) 100
求生产了50个单位产品时的总收入．
分析:
(1)总收入R的变化率－即总收入函数的导数;
(2) x 0时，R 0 －即初始条件,为默认条件．
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
C( x) 10 10x 0.1x 2 .
故总利润函数为
L( p) 10 10x 0.1x 2 .
所以当 x 50 时， p 10 时，总利润最大,最大利润为:240元. 4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
训练题 某产品的边际成本MC＝2－x,固定成本C0＝100，边际收
的函数 Q(t ) 136t 20 ,当 t 0 时 Q 0, ,求该产品的 总产量函数 Q(t ) .
t
分析:
(1)总产量的变化率－即总产量函数的导数; (2)
t 0时，Q 0 －即初始条件．
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例2 解：
1 2
分析:
(1)最大需求量A－可理解为价格为零时的需求,即 p 0, Q(0) A ; (2)需求量变化率－即边际需求。
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例4 解：
1 p 由 Q( p) A ln 2 ( ) ,积分得 2
1 p Q( p ) [ A ln 2 ( ) ]dp 2
益MR＝20－4x（单位：万元/台）。
求（1）总成本函数C(x)； C ( x) x 2 x 100
2
2
（2）收益函数R(x)；
R( x) 20 x 2 x 2
（3）生产量为多少台时，总利润最大。 边际利润
L( x) 3x 18
当 x 6 时利润最大。 4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
方法：
通过求不定积分的方法
步骤： 1.对边际函数求不定积分； 2.由给出的初始条件，确定积分常数C； 3.写出这个满足初始条件的经济函数。
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例1 为 C (q) 2 关系.
7
3
某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本
q
2
, 且固定成本是5000元.求总成本C与月产量
q
的函数
分析:
(1)边际成本－即成本函数的导数; (2)固定成本5000元－即初始条件,产量为零时的成本．
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例1 解： 因为 C (q) 2
7
3
q
2
,所以
7 dq 2q 21 3 q C C (q) 2 0 2 3 q
经济数学
课堂小结 1.理解不定积分应用于已知边际函数求相应经济函数的意义。 2.掌握已知边际函数应用不定积分直接或间接地求出相应的经济函数。 3.应用不定积分知识解决经济中的实际问题。
难点：函数的变化率、边际函数的经济意义。
4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例5 解： 由需求函数
x 100 5 p 得收益函数R:
R( x) xp 20x 0.2x 2
故边际利润为
Lx R( x) C( x)
20 0.4 x (10 0.2 x)
10 0.2 x
令 L( x) 0 ，得 x 50 又 L( x) 0.2 0 故 x 50,即p 10 时,利润最大
经济数学
1. 引例
已知某边际成本函数 C (q) 2
如何求总成本函数 C C ( x) .
7
3
q2
,
固定成本为5000
?
4.4 不定积分在经济问题中的应用
已学过的边际函数： 边际成本 MC C( x) 边际收入 边际利润
MR R( x) ML L( x)
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经济数学
2. 求解方法与步骤
1 p 1 p A ln 2 ( ) dp A( ) C 2 2
代入上式得Ｃ＝０．
将
Q A， p0 ，
所以这种商品的需求函数为： Q ( p ) A( ) p
1 2
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例5 已知某种商品的需求函数 x 100 5 p ,其中 (单位:件) ,
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例5 解（续）： 又由边际成本 Cx 10 0.2 x ,可得 总成本函数C :
C ( x) C ( x)dx (10 0.2 x)dx 10 x 0.1x 2 C 0
由初始条件C(0)=10,可得C0=10 则总成本函数为:
(C0为任意常数)
又因为固定成本为5000元, 即C(0)=5000,代入上式得 C0=5000, 于是所求函数为:
C(q) 2q 21 3 q 5000
4.4 不定积分在经济问题中的应用 4.3 分部积分法
经济数学
3. 方法应用
例2 已知某厂生产某产品总产量 Q(t ) 的变化率是时间