行列式-课件

bq1 bq2
bpn ，
bqn
其中i p, q时，bij aij ;bpj aqj , bqj a pj .
bn1 bn2
bnn
§ 1.2 行列式的性质与计算
即有
a11 a12
a1n
aq1 aq2
aqn
det(bij )
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
由行列式的定义有 det(bij )
kq
kp
a kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) a (k1 kq kp kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
det(aij )
证毕
推论1.1 若行列式有两行(或两列)对应元素完全相同，则该行列式 的值等于零.
§ 1.2 行列式的性质与计算
0
例1.9 计算n阶行列式
0
Dn =
证毕
§ 1.2 行列式的性质与计算
推论1.2 行列式的某一行(或列)所有元素的公因式可以提到行列式记号外.
推论1.3 若行列式中有两行(或两列)的元素对应成比例，则该行列式的值等于零.
12 3 4
例1.10 计算行列式
2 3 4 6
D4 = 3 3
5
.
6
4 1 2 2
解 观察行列式的元素特点，发现行列式D4中第4列所有元素有公因子2， 所以先把行列式中第4列元素的公因子2提到行列式记号外，即
D1 = kai1 kai 2
kain
(1) a a ( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
kaipi
anpn
an1 an2
ann
=kD k
(1) a a a a ( p1p2 pn )
1 p1 2 p2
ipi
npn
p1 p2 pn
即性质1.3对行的情形成立，类似证明性质1.3对列的情形也成立.
第1章 行列式
行列式是数学中最重要的基本概念之一，也是一种常用的数学工具， 在数学学科及其它领域中都有着广泛的应用．本章将引入行列式的定义， 介绍行列式的性质及计算行列式的方法，最后介绍行列式的一个应用即克 拉默法则.
§1.1 行列式的定义 §1.2 行列式的性质与计算 §1.3 克拉默法则
§ 1.2 行列式的性质与计算
性质1.6 n阶行列式D等于它的第i行(或第j列)的各元素与其对应的代数余子式
乘积之和，即 D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , i 1, 2, , n
= a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , j 1, 2, , n
性质1.6也叫行列式按一行(或列)的展开法则，利用此法则可将n阶行列式 用n-1阶行列式来表示. 证明 先证明特殊情形.
§ 1.2 行列式的性质与计算
a11 a12
a1n
定义1.9 设n阶行列式 D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11 a21
an1
把D中的行与列互换，所得的行列式记为DT，即 DT a12 a22
an2
称DT为D的转置行列式.
a1n a2n
ann
§ 1.2 行列式的性质与计算
定义1.10 划掉n(n>1)阶行列式D中第i行第j列后所得的n-1阶行列式记为Mij，
性质1.2 对换行列式的两行(或列)，行列式变号.
用ri表示第i 行，交换第i 行与第j 行记为ri rj;
用ci表示第i
行，交换第i
列与第j
列记为c i
cj
.
*证明 对行的情形， a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
a p1 a p2
a pn rp rq
aq1 aq2
aqn
aq1 aq2
aqn
a41 a43 a44
a11 a13 a14 A32 (1)32 a21 a23 a24
a41 a43 a44
§ 1.2 行列式的性质与计算
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.
证明 记 D det(aij )的转置行列式DT det(bij ),
则有bij=aji. 利用行列式的定义和定理1.4有
为了简化行列式的计算，本节首先讨论行列式的性质，然后利用这些 性质给出若干计算行列式的典型方法和计算技巧.
1.2.1 行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 *1.2.3 拉普拉斯定理
§ 1.2 行列式的性质与计算
，
1.2.1 行列式的性质
前一节介绍了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊的n阶行列式. 但当n较大时，用定义计算一般的n阶行列式并不容易. 为能简便计算行列式，需 要研究行列式的性质. 首先给出行列式的转置行列式及行列式中元素的余子式和 代数余子式的概念.
§ 1.2 行列式的性质与计算
12 3 2 2 3 4 3
D4 =2 3 3 5 3
4 1 2 1
再观察新行列式，发现新行列式的第2列与第4列对应元素完全相同，
即新行列式的值等于零，因此 D4 =0.
§ 1.2 行列式的性质与计算
性质1.4 某一行(或列)的元素都是两数之和的行列式可分解为两个行列式的和. 证明 若行列式D的第i行元素都是两个数之和，即
如果n阶行列式D中第i行除元素a ij外其余元素都为零，那么D等于a ij 与其代数余子式A ij的乘积，即D=aij Aij.
§ 1.2 行列式的性质与计算
若(i, j)=(n, n)，此时
a11 a21 D an1,1 0
a12 a22
an1,2 0
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 ... jn ) 1j1 2 j2
j1 j2 ... jn1
a a M n1, jn1
nn nn
ann Ann
§ 1.2 行列式的性质与计算
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对于
a11
a1 j
D 0
aij
an1
anj
a11
c j c j1 c j +1 c j2
ai 1,1 (1)ni (1)n j ai1,1
cn1 cn
an1
0
a1n
0
ann
a1 j1
ai1, j ai1, j
aij ((1)(ni)(n j) Mij ) aij ((1)i j Mij ) aij Aij .
an, j1 0
an, j1 0
ann anj
0
aij
§ 1.2 行列式的性质与计算
再证一般情形 将n阶行列式D中第i行的各元素都表示为n项之和，并利用推论1.4得
a11
ri ri 1
ri +1 ri2
ai 1,1 (1)ni ai1,1
rn1 rn
a1 j1
a1n
an1 0 a1 j
a1 j
ai1, j ai1, j
anj aij
a1n
ai 1,n ai 1,n
ann 0
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai 1,n ai 1,n
00
an2,n1 an2,n
§ 1.2 行列式的性质与计算
总之，对行列式作有限次相邻行的对换后，得到
Dn =( 1)n1( 1)n2
n( n1)
=( 1) 2 a1n
an1 0
(1)2 (1)
0 0
an1,2an1 .
an2 an1,2
0 0
an,n1 an1,n1
ann an1,n
a2,n1
a2n
§ 1.2 行列式的性质与计算
例1.8 计算上三角行列式
a11 a12
0 Dn
a22
a1n
a2n .
00
ann
解 由例1.7知道下三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，利用
性质1.1可知上三角行列式
a11 0
Dn DnT a12 a22
0 0
a11a22
ann .
a1n a2n
ann
§ 1.2 行列式的性质与计算
0
an,n1
ann
0
a1n
a2,n1
a2n
0 an1,2
an1,n1 an1,n
又将上面的行列式的第n行依次与第n-1行、第n-2行交换……第2行对换，共进行
n-2次相邻行的对换后得到
an1
0
Dn =( 1)n1( 1)n2 0
an2 an1,2
0
an,n1 an1,n1
0
ann an1,n a1n
an1,n
j1 j2 ... jn
an,n
anjn
由于只有jn n，anjn 才可能不为零，于是
D
(1) a a ( j1 j2 ... jn1n) 1j1 2 j2
j1 j2 ... jn1n
a a n1, jn1 nn
ann
(1) a a ( j1 j2 ... jn1 ) 1j1 2 j2
DT =
(1) b b (i1i2 in ) i11 i2 2
i1i2 in
binn
(1) a a (i1i2 in ) 1i1 2i2
i1i2 in
anin D 证毕
注1.4 性质1.1表明，行列式中行与列的地位是对等的，因此，凡是对行 列式的行成立的性质，对行列式的列也同样成立，反之亦然.
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
an1 an2
ann
§ 1.2 行列式的性质与计算
记上式左边行列式为det(aij)，即有
det(aij )
(1) a a (k1 kp kq kn )
1k1
pk p
aqkq
ankn , 其中1
p
q
n 为标准排列.
又记
b11 b12
b1n
bp1 bp2 det(bij )
ai1 ai 2 a j1 a j 2
ain
ai1 ka j1
ri krj
a jn
a j1
ai 2 ka j 2 aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
注1.5 记号 ri krj不能写出krj ri，此处格式是使用计算机非形式化语言进行描述的.
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) b (k1 kp kq kn ) 1k1
bpk p
bqkq
bnkn
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
aqk p
a pkq
ankn
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) (1) (k1
0 an1
0 0
an1,2 an2
0 a2,n1
an1,n1 an,n1
a1n a2n
.
an1,n ann
解 观察行列式的元素特点，将行列式第n行依次与第n-1行、第n-2行交换 ……第1行对换，共进行n-1次相邻行的对换后得到
§ 1.2 行列式的性质与计算
an1 an2
00
Dn =( 1)n1 0
0
a1n
§ 1.2 行列式的性质与计算
性质1.3 行列式D的第i行(或列)各元素都乘以同一数k等于用数k乘以此行列式D.
用数k乘以行列式的第i 行(或列)记为ri k(或ci k) 证明 对行的情形，将行列式D的第i行各元素都乘以同一数k后得到的行列式
D1，则由行列式的定义有
a11
a12
a1n
§ 1.2 行列式的性质与计算
性质1.5 把行列式某一行(或列)的各元素都乘以同一数k加到另一行(或列)
的对应元素上去，行列式的值不变.
用数k 乘以第j 行(列)加到第i 行(列)上记为ri krj (ci kc j ),i j.
性质1.5对行的情形可表示为
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0
0 0 0 ain
an1
an2
an2
§ 1.2 行列式的性质与计算
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1 0
0 0 ai2
0 0 0
ain
an1 an2
ann an1 an2
=ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , i 1, 2,
a11
a12
a1n
bi1 ci1 bi 2 ci 2
b c in
in
(1) a a ( p1p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
(bipi cipi ) anpn
an1
an2
ann
(1) a a ( p1p2 pn ) 1 p1 2 p2
bipi
anpn +
(1) a a c a ( p1p2 pn )
称Mij为行列式D中元素aij的余子式， Aij =(1)i j Mij 为元素aij的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如，四阶行列式 a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
中元素a32的余子式与代数余子式分别为
a11 a13 a14 M32 a21 a23 a24
1 p1 2 p2
ipi
npn
p1 p2 pn
p1 p2 pn
§ 1.2 行列式的性质与计算
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
bi1 bi2
bin ci1 ci2
cin
an1 an2
ann an1 an2
ann
即性质1.4对行的情形成立，类似证明性质1.4对列的情形也成立. 证毕
推论1.4 某一行(或列)的元素都是n个数之和的行列式可分解为n个行列式的和. 推论1.5 每个元素都是两个数之和的n阶行列式可分解为2n个行列式之和.