第二章多自由度机械系统的动力学建模讲解

F
x
理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的元功等于零，我们把这种 约束系统称为理想约束。
∑FNi · ri = 0
式中：FNi 表示第i个质点的约束反力；δ r i 表示第i个质点的虚位移。 常见理想约束包括:
光滑支承面 不可伸长的绳索 刚体的固定支点 连接两刚体的光滑铰链 连接两个质点的无重刚杆
系统运动方程： Qs Mstqt Dstrqtqr
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t,r
表为矩阵形式： [Q] [M ][q] +[D][qtqr ]
或：
[T ]T [F ] [T ]T [m][T ] [q]+[T ]T [m][T '][qtqr ]
式中 Qs ——广义力 M st ——二阶广义惯量 Dstr ——三阶广义惯量
（一）虚功原理与达朗贝尔原理
虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理， 解题方法一般归纳为：
1、判别约束是否为理想约束； 2、找出主动力及作用点； 3、确定自由度，并选择广义坐标； 4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变
分来表示；
5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变 分相互独立，所以可以较方便的求解。
方程：
m
(Fi M iui ) ui 0
i 1
虚位移
1. 虚位移
y
质点系在给定瞬时，为
A rA
约束所允许的无限小位移— M
虚位移
rB
O
B
（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移； （2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同； （4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
ui
s
ui qs

qs
ui
t
ui qt
qt
ui
t
( ui qt
qt

r
2ui qt qr
qt
qr )
由 m

(Fi M iui ) ui 0
得：
i 1 i
s
ui qs
Fi
qs

i
s
t
ui
qs
Qs qs

1 2
d
dt

s,t
M st qsqt

1 2
s,t
M st (qsqt
qsqt ) qsqt
r
M st qr
qr


s,t
(M
st
qt qs
)

1 2
s,t
r
qr qsqt
i
mi
(
2ui qsqr
ui qt
m2 ri
∑Fi · ri = 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用 于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零——虚位移原理
Fi ——主动力 FNi——约束反力 ri——虚位移
∑Fi · ri = 0
Fi Fxii Fyi j Fzik ri xii yi j zik

ui qs
2ui ) qt qr
M st qtqs
s,t
s,t r
i
mi
ui qs

2ui qt qr
qsqt qr
M st qtqs
Dstr qsqt qr
s,t
s,t r
注意到广义坐标为qs (s 1,2 )是独立无关的，得
ri xii yi j zik
(Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
上式称为虚位移原理的解析表达式
应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：
（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分， 从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
2．1 多自由度系统建模方法之一
（基于动能定理和广义可能位移原理）
2．1．1 基于动能定理：
i
Fivi

1 2
d dt
(
i
vimivi )
引入广义坐标 qs
得：
s

i
Fi
ui qs
qs

1 2
d dt

i

s
ui qs
qs
mi

t
ui qt
qt

记为
1 d

2
dt

s,t

i
ui qs
mi
ui qt
qsqt

s
Qs qs

1 2
d dt

s,t
M st qsqt

将此式进一步展开：
s
2 虚位移原理
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
虚位移原理 Fi + FNi = 0
Fi · ri + FNi · ri = 0
∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0 ∑FNi · ri = 0
m1 Fi mi FNi
(mi
ui qt
qt

r
2ui qt qr
qtqr ) qs
故运动方程：
Qs
i
Fi
ui qs
[T ]T [F ] [Q]
M st
i
ui qs
mi
ui qt
[T ]T [m][T ] [M ]
Dstr
i
mi
ui qs
2ui qt qr
[T ]T [m][T '] [D]
2．1．2基于广义可能位移原理的动力学普遍
第二章 多自由度机械系统的动力学建模方法
当广义坐标不止一个时，记广义坐标为
qs (s 1, 2 ) ，不失一般性，把系统外力F和力 矩 统一记为 Fi (i 1, 2 ) ，把质量m和转动惯量 J统一记为mi (i 1,2 ) ,对应的位移和转角统一记 为 ui ,速度为 vi (i 1, 2 )
达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程， 它考虑的是运动而不是静力学问题。
由“运动”学
mi ri Fi Ri
（ Fi 主动力； Ri 约束反力）
变为平衡类型
Fi

Ri


mri
0
这样把动力学的问题转变为静力学问题处
理，这就是著名的“动静法”。由于变为平 衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决 有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起 成为分析力学的最普遍原理的理论基础。