数学物理方程--- 6 特征线法
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西安交通大学 数学与统计学院
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
西安交通大学 数学与统计学院
第二节、一维波动方程的特征线法
考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt a 2u xx 0, x , t 0 数 学 u ( x, 0) ( x ), u x, 0) ( x ), x t 物
第 (2) 六 理 这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。 章 方 特 程 特征线族 征 2 线 dx 2 (3) a 0 法 dt 1 2 2 即 dx dx 1 a k 0, k a 0, a 0 a 1 1 dt dt t x c1 , t x c2 可得 a a x at c1 , x at c2
1 1 x at 1 1 x at ( x at ) 0 ( )d 2 ( x at ) 2a 0 ( )d 2 2a
(10)
的解为
第 六 章 特 征 线 法
(11)
第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令
U (t ) u( x(t ), t )
则
dU dx ut ux ut ( x t )u x 西安交通大学dt 数学与统计学院 dt
dU dx ut ux ut ( x t )u x dt dt
学 物 理 方 程
定解问题转化为
西安交通大学 数学与统计学院
du 4t c, 0 t dt u (0) u ( x(0), 0) x 2 (0) c 2
数 解之，得 学 物 又 理 方 程
(3)
x 3t c ，则
u 2t 2 ct c 2
0 2 2 1 1 x 1 g ( x) ( x) 0 ( )d 2 ( f (0) g (0)) 2 2a
2a
( B) 第 六 章 特 (7) 征 线 法 (8)
所以
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
即 ut 3u , u x u u , 代入 有
数 学3u 物 理 方 程 所以
t
3
, x .
ut 3u x x t
即
ut 3u x x t 3(u u ) 3 4 3u . 3 4 3u . 3 4 1 对 两边积分，可得 u . 9 9
u ( x, 0) x 2
所以
2 2 1 2 x x x g ( x), 9 9 8 2 x g ( x), 9
2
2 2 1 8 u ( x, t ) x ( x 3t ) x ( x 3t ) 2 , 9 9 9 2 2 1 2 3 8 2 x x tx ( x 6 x 9t 2 ), 9 9 9 9 x2 5tx 8t 2 .
六 例1 求解线性方法Cauchy问题 章 (1) ut 3u x x t , 0 t , x 特 2 (2) 征 u ( x, 0) x , x 线 解 方程（1）的左端 ut 3u x 是 u( x, t ) 的一阶偏导数的线性 法 u( x, t ) 关于t的全 组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 导数。 du ut uxx x t dt 在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
a 2 (u 2u u )
2
(3)
第 六 章 特 征 线 法
ux u x u x u u
utt a 2u xx 2 4a u
u xx u 2u u
西安交通大学 数学与统计学院
则（1）式变为
u 0
西安交通大学 数学与统计学院
(1)
（3）称为特征方程
数 学 物 理 则 方 程
dx a2 0 dt 做变量代换 x at x at
ut u t ut au au utt a(u t ut ) a(u t ut ) a(au au ) a(au au )
则
数 U et t 1 cet 学 dt 物 U (0) u ( x(0), 0) x(0) 理 方 这个常微分方程初值问题的解为 程 dU
又
(12) c
U (t ) t (1 c)sht
x(t ) et t 1 cet c ( x t 1)et 1
第 六 章 特 征 线 法
ut 3u x x t , 0 t , x u ( x, 0) x 2 , x
西安交通大学 数学与统计学院
(1) (2)
dx 特征线 x 3t c 是方程 3 0 的解，方程 dt dx 3 0 称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。 dt
第6章
数 学 物 理 方 程
特征线法
第 六 章 特 征 线 法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
西安交通大学 数学与统计学院
Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双 曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 数 为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在第 学 六 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 物
u 2t 2 ( x 3t )t ( x 3t )2
2t xt 3t x 6 xt 9t
2 2 2
2
此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
x 2 8t 2 5xt
理 方 程
特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使 其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 求解非线性方程的一种有效方法。
章 特 征 线 法
西安交通大学 数学与统计学院
第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想 数 第 和求解方法。
西安交通大学 数学与统计学院
练习
求下列Cauchy问题的解
数 学 物 理 方 程
ut ( x t )u x u x, x R, t 0 u |t 0 x
解 第一步 求特征线。 特征线方程
(9)
dx xt dt x(0) c
x(t ) et t 1 cet
第 六 章 特 征 线 (1) 法 (2)
的（2）式，可得
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( A) ( x) u ( x, 0) f ( x) g ( x) ( x) ut x, 0) af ( x) ag ( x)
对上面第二式两边积分
x 数 ( )d af ( x) ag ( x) af (0) ag (0) 学 0 物 联立（A）（B）两式，可得 理 方 1 1 x 1 程 f ( x) ( x) ( )d ( f (0) g (0))
积分此方程，可得
1 数 学 u f1 ( ) g ( ) f ( 物 理 其中f、g是两个任意函数，将变量 方 程
u f ( )
) g ( ) , 还原成x和t得
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
由方程
utt a 2u xx 0, x , t 0 u ( x, 0) ( x), ut x, 0) ( x), x ( x) u ( x, 0) f ( x) g ( x ) ( x) ut x, 0) af ( x) ag ( x )
第 六 章 特 征 线 法
其中，g () 为一个可微函数。
2 2 1 u g ( ), 9 9
2 2 1 u ( , ) g ( ), 由 西安交通大学 数学与统计学院 9 9
由方程（2）
数 得 学 物 理 方 即 程
2 2 1 u ( x, t ) x ( x 3t ) x g ( x 3t ), 9 9
数 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 第 学 六 征线法的基本思想。 物 章 理 方 对定解问题（1）（2） 特 程 u 3u x t , 0 t , x (1)
t x u ( x, 0) x 2 , x
(2)
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
征 线 法
x 3t , x. 则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
西安交通大学 数学与统计学院
易得该问题的解为
1 u 常数 u (0) 1 2
数 最后，由特征线方程 x esin t 解出 学 物 (8)式中便得(6)式-(7)式的解为 理 1 方 u ( x, t ) 2 2sin t 程
8
xe sin t , 将其代入到 第 六 章 特 1 x e 征 线 法
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
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例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
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第二节、一维波动方程的特征线法
考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt a 2u xx 0, x , t 0 数 学 u ( x, 0) ( x ), u x, 0) ( x ), x t 物
第 (2) 六 理 这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。 章 方 特 程 特征线族 征 2 线 dx 2 (3) a 0 法 dt 1 2 2 即 dx dx 1 a k 0, k a 0, a 0 a 1 1 dt dt t x c1 , t x c2 可得 a a x at c1 , x at c2
1 1 x at 1 1 x at ( x at ) 0 ( )d 2 ( x at ) 2a 0 ( )d 2 2a
(10)
的解为
第 六 章 特 征 线 法
(11)
第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令
U (t ) u( x(t ), t )
则
dU dx ut ux ut ( x t )u x 西安交通大学dt 数学与统计学院 dt
dU dx ut ux ut ( x t )u x dt dt
学 物 理 方 程
定解问题转化为
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du 4t c, 0 t dt u (0) u ( x(0), 0) x 2 (0) c 2
数 解之，得 学 物 又 理 方 程
(3)
x 3t c ，则
u 2t 2 ct c 2
0 2 2 1 1 x 1 g ( x) ( x) 0 ( )d 2 ( f (0) g (0)) 2 2a
2a
( B) 第 六 章 特 (7) 征 线 法 (8)
所以
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
即 ut 3u , u x u u , 代入 有
数 学3u 物 理 方 程 所以
t
3
, x .
ut 3u x x t
即
ut 3u x x t 3(u u ) 3 4 3u . 3 4 3u . 3 4 1 对 两边积分，可得 u . 9 9
u ( x, 0) x 2
所以
2 2 1 2 x x x g ( x), 9 9 8 2 x g ( x), 9
2
2 2 1 8 u ( x, t ) x ( x 3t ) x ( x 3t ) 2 , 9 9 9 2 2 1 2 3 8 2 x x tx ( x 6 x 9t 2 ), 9 9 9 9 x2 5tx 8t 2 .
六 例1 求解线性方法Cauchy问题 章 (1) ut 3u x x t , 0 t , x 特 2 (2) 征 u ( x, 0) x , x 线 解 方程（1）的左端 ut 3u x 是 u( x, t ) 的一阶偏导数的线性 法 u( x, t ) 关于t的全 组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 导数。 du ut uxx x t dt 在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
a 2 (u 2u u )
2
(3)
第 六 章 特 征 线 法
ux u x u x u u
utt a 2u xx 2 4a u
u xx u 2u u
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则（1）式变为
u 0
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(1)
（3）称为特征方程
数 学 物 理 则 方 程
dx a2 0 dt 做变量代换 x at x at
ut u t ut au au utt a(u t ut ) a(u t ut ) a(au au ) a(au au )
则
数 U et t 1 cet 学 dt 物 U (0) u ( x(0), 0) x(0) 理 方 这个常微分方程初值问题的解为 程 dU
又
(12) c
U (t ) t (1 c)sht
x(t ) et t 1 cet c ( x t 1)et 1
第 六 章 特 征 线 法
ut 3u x x t , 0 t , x u ( x, 0) x 2 , x
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(1) (2)
dx 特征线 x 3t c 是方程 3 0 的解，方程 dt dx 3 0 称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。 dt
第6章
数 学 物 理 方 程
特征线法
第 六 章 特 征 线 法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
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Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双 曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 数 为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在第 学 六 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 物
u 2t 2 ( x 3t )t ( x 3t )2
2t xt 3t x 6 xt 9t
2 2 2
2
此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
x 2 8t 2 5xt
理 方 程
特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使 其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 求解非线性方程的一种有效方法。
章 特 征 线 法
西安交通大学 数学与统计学院
第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想 数 第 和求解方法。
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练习
求下列Cauchy问题的解
数 学 物 理 方 程
ut ( x t )u x u x, x R, t 0 u |t 0 x
解 第一步 求特征线。 特征线方程
(9)
dx xt dt x(0) c
x(t ) et t 1 cet
第 六 章 特 征 线 (1) 法 (2)
的（2）式，可得
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( A) ( x) u ( x, 0) f ( x) g ( x) ( x) ut x, 0) af ( x) ag ( x)
对上面第二式两边积分
x 数 ( )d af ( x) ag ( x) af (0) ag (0) 学 0 物 联立（A）（B）两式，可得 理 方 1 1 x 1 程 f ( x) ( x) ( )d ( f (0) g (0))
积分此方程，可得
1 数 学 u f1 ( ) g ( ) f ( 物 理 其中f、g是两个任意函数，将变量 方 程
u f ( )
) g ( ) , 还原成x和t得
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
由方程
utt a 2u xx 0, x , t 0 u ( x, 0) ( x), ut x, 0) ( x), x ( x) u ( x, 0) f ( x) g ( x ) ( x) ut x, 0) af ( x) ag ( x )
第 六 章 特 征 线 法
其中，g () 为一个可微函数。
2 2 1 u g ( ), 9 9
2 2 1 u ( , ) g ( ), 由 西安交通大学 数学与统计学院 9 9
由方程（2）
数 得 学 物 理 方 即 程
2 2 1 u ( x, t ) x ( x 3t ) x g ( x 3t ), 9 9
数 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 第 学 六 征线法的基本思想。 物 章 理 方 对定解问题（1）（2） 特 程 u 3u x t , 0 t , x (1)
t x u ( x, 0) x 2 , x
(2)
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
征 线 法
x 3t , x. 则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
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易得该问题的解为
1 u 常数 u (0) 1 2
数 最后，由特征线方程 x esin t 解出 学 物 (8)式中便得(6)式-(7)式的解为 理 1 方 u ( x, t ) 2 2sin t 程
8
xe sin t , 将其代入到 第 六 章 特 1 x e 征 线 法