渐开线圆柱齿轮齿厚测量方法及其计算公式

渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式

渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四种方法。后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量法。公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。量柱距测量主要用于内齿轮和小模数齿轮。 1. 公法线长度测量

（1）公法线及其长度计算式

对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A 、B 的连线必定与基圆相切于某一点C ，这条AB 连线就叫公法线，一般用W k 表示；下标k 表示卡住的齿数。

图1中，根据渐开线的性质，

A C ＝A C '

；

B C ＝B C '⌒；A B ＝A B ''⌒。A B 是（k-1）个基圆齿距p b

和一个基圆齿厚S b 之和，即：

(1)(1)cos k b b b W k p S k m S πα=-+=-+……（1-1） 式中，k –跨测齿数；

α–压力角（°）；

m –模数，mm ；

分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：

22b b

s s

inv invo r r α+=+ 由上等式可得：

(2tan )22b b b r m

s xm r inv r παα=

++ 图1 公法线长度的测量计算 =1

cos 2sin cos 2

m xm zm inv παααα++…………（1-2） 将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：

cos [(0.5)2tan ]k W m zinv k x ααπα=+-+…………（1-3）

式中，z –齿轮的齿数； inv α–渐开线函数；

x –变位系数；

若模数m=1,（1-3）式变为：

cos [(0.5)2tan ]

k W zinv k x ααπα=+-+

cos [(0.5)2sin zinv k x ααπα=+-]+

K k W W **=+∆…………（1-4）

（1-4）式中第二行的前一项cos (0.5)k W k ααπ*

=+-［zinv ］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。 后一项2sin k W x α*

∆=为m=1的齿轮变位后公法线长度的附加量。

k W *和k W *∆二项的数据可直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取，将其值相加再乘以模数

便得到齿轮的公法线长度。所以，查表计算的公法线长度为：

()k k k W W W m **=+∆…………（1-5）

对于斜齿轮，公式中的α和x 应为法面值n α和n x ，齿数z 应为假想齿数z '。其中t

n

inv z z inv αα'

=⨯ 式中，t α为端面压力角。

公式（1-3）、（1-4）、（1-5）同样适用于内齿轮，只是其中的k 值代表跨齿槽数而已。当α=20°时，其公法线长度也可同外齿轮一样直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取。

（2）跨测齿数k 的确定

跨测齿数选择要适当，多或少均不合适，所以要选择一个合适的齿数。

对于不变位的标准齿轮，公法线千分尺的两个测量平面应相切于分度圆附近。若正好切于分度圆上A 、B 两点（图2），则公法线长度为：

2sin k A B r W α==…………（1-6）

这时，A B 间所跨的齿数为：

A 1b b

B S k p ''-=+⌒……………(1-7)

因为A B ''

⌒

＝A B ＝2rsin α,

将该式与（1-2）式(式中x=0)代入(1-7)式，可得：

0.5z

k απ

=

+（式中α为弧度）

； 将α转换为以度为单位（360°＝2π弧度），则：

0.5180

z

k α=

+…………………（1-8）

上式计算出的结果四舍五入予以圆整。 图2卡爪与齿轮相切于分度圆

当α＝20°，跨测齿数计算式为：

0.59

z

k =

+，……………（1-9） 当－≤x ≤+时，跨测齿数k 均可用此式计算。

对于变位齿轮，是假定卡尺在轮齿中部所在的中圆附近接触，可据此推出：

22122[

(1)cos tan ]0.5cos z

x x

k inv z z αααπα=

+---+

当x ＞∣±∣时，可按下计算跨测齿数。

20.5180

z

xctg k αα

π

=

++

…………………（1-10）

20α=时的k 值可查《机械设计手册》中的线图确定（内齿轮的k 值是跨测齿槽数）。

2.量柱距测量

（1）量柱（或球）直径d p

量柱（或球）测量可以比较自由地选取量柱直径，只要直径合适即可。合适的含义是： ○量柱直径要足够大，在齿槽中放上量柱以后，其外表应高出齿顶，以便测量时测头不碰齿顶。 ○量柱应与齿槽两侧的渐开线齿面部分接触，通常选择在轮齿中部。

量柱直径的取值通常用模数m 来表示。

对于内齿轮，量柱直径的适用范围大约为（~）m 。通常取d p =，有时也有取的，甚至取到，但有时会低于齿面，不便测量。

对于外齿轮，量柱直径的适用范围大约为（~）m 。常取d p =，或、等，大约在啮合节圆附近接触。 （2）量柱距M 的计算

计算M 值分偶数齿（双数，齿槽相对）和奇数齿（单数），见图3。 ○首先要计算通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角M α（见图4，公式推导从略）

.

图3 内、外齿轮量柱距测量 图4 量柱接触点压力角m α计算

2tan cos 2p M d x inv inv mz z

z

π

α

ααα

=±

+

……………………………（2-1） 当20α=时，M inv α按下式计算：

1

0.014904(1.06418 1.57080.728)p

M d inv x z m

α=±+………………（2-2）

○M 值计算： 对于偶数齿： cos cos p M

mz M d α

α=

±………………………………………（2-3）

对于奇数齿： cos 90

cos cos p M mz M d z

αα=

±…………………………………（2-4）

公式（2-1）~（2-4）中的±号或

号，上面的用于外齿轮，下面的用于内齿轮；x 为变位系数。

○ M 值的上、下偏差E Ms 和E Mi 的确定

M 值的上、下偏差由齿轮的公法线平均长度上、下偏差 换算得出，其换算公式见表1。 内齿轮

偶数齿

上偏差Ms E

sin sin wms wm wm

Ms M M E E T E αα+||+=

=

公式中：

wms E -齿轮的公法线平均长度上偏差 wmi E -齿轮的公法线平均长度下偏差

wm wms wmi T E E =--齿轮的公法线平均长度公差

下偏差Mi E sin sin wmi wm Mi M M

E E E αα+||

=

=