数学建模-电梯控制优化调度模型

考虑并求出每一层进一个人的情况下的时间，再乘以系数 M 。 N
在建立模型之前必须先明确以下几点：
1. Ti 所涉及的楼层是 ci ,ci1，表示从 ci1 到其间的 ci1-ci 层楼，并不包括
ci 这一层， ci 这一层归在上一段考虑；
2. 在电梯不停靠的楼层，乘客选择最临近目的层的电梯停靠层下电梯。于
ci1
ci
ia
i1
(ci1-ci )
j0
pc
j 1 -c
j


q


ci 1 -ci 2
t i

(ci 1 -ci
)
ia


ci1
-ci
p（ci
-c0）+iq]


ci
1 -ci 2
ti


ci1
-ci

ia

i
p（ci
-c0）+iq
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是(从 A/B/C 中选择一项填写)：
A
[注] 答卷评阅前由主办单位将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“评阅
编号”。
参赛队员姓名 (打印并签名)
系、班级
联系方式：电话、QQ
4. 电梯从第i 层到达第j 层（i<j）需要经过“加速——匀速——减速”的 过程，可以假定电梯加速、减速的时间恒定，且匀速运行时的速度为常 量。
5. 在第i 层楼上课的学生，总是选择坐电梯到达距离第i 层最近的楼层， 再通过走楼梯到达目的地（假若学生不乘电梯，则看作他乘坐电梯到达 第1 层，再走楼梯到达目的楼层）。并假设男生、女生爬行楼梯速度相 同。
4.38
4.44
7
6
4.52
4.38
4.45
4.50
6
8
8.99
8.77
8.91
8.98
8
6
8.97
8.56
8.88
8.99
1
10
34.59
34.52
34.48
34.33
10
1
32.47
32.38
32.25
32.43
通过对上表数据的分析，可以利用Excel 统计工具描绘出电梯运行时间与楼层间
隔的关系，从而得出加速、减速的时间，以及匀速运动的速度，即求解出匀速运
5
16.3875
9
32.3825
9
34.48
图1
即得到：常数p=2.7469，q=5.1136。 另外，i =ci1-ci
（2）
5. 模型建立与求解
根据调查研究所得数据，针对主楼电梯使用高峰时段师生等待电梯时间长、 人流拥挤的实际情况，从对问题所作的假设出发，我们建立了电梯优化调度模型 I，模型Ⅱ。
6. 电梯乘坐人数不能超过最大乘载量：18 人 7. 假设学生到达一课时按顺序排队进入电梯，一般不出现插队现象。 8. 电梯的能耗与停留的层数成正比（一般仅限于考虑电梯马达的能量损
耗），停留层数越多，能耗越大。
1
3. 前期准备
根据问题分析过程，以及模型建立所需参数，我们对主楼的电梯运行和使用 情况进行调查研究。
9
9.87
8：18
10
6.37
8：35
9
9.35
8：21
8
8.28
11：00
1
7.98
8：22
8
10.64
11：00
1
8.78
8：23
9
10.88
11：01
1
12.58
8：24
9
13.97
11：02
1
Leabharlann Baidu12.68
8：26
8
14.99
11：03
1
17.12
通过对上表数据的处理和计算，可以得到电梯停留的平均时间。
行一层所需时间。
表2 步行楼梯所需时间表
步行层数/层
上/下
时间
1
上
9.98
1
上
10.23
1
下
7.77
1
下
7.56
2
上
20.10
2
上
21.08
2
下
18.48
2
下
19.34
3
上
33.60
3
上
32.59
3
下
28.45
3
下
27.58
通过对上表数据的分析计算，可以得出学生步行楼梯的平均时间。
平均值：9.865 秒。
日期： 2011 年 5 月 22 日
电梯调度方案问题
摘要
本文的目的是设计电梯控制的优化调度模型以解决师生等待时间长的问题。 前期准备阶段通过对教学主楼电梯的运行情况和学生使用电梯的情况进测量、调 查研究，得到建立模型的相关数据。通过对实际情况作合理假设，将问题归结为：
(一) 减少师生等待电梯、乘坐电梯以及爬行楼梯所需的时间； （二）使电梯的能量损耗尽可能小。综合以上两种因素建立出合理模型，制
定出优化调度方案。 模型Ⅰ对以上三项指标进行综合考虑，将等待电梯时间Ti1，乘坐电梯时间 Ti2，爬行楼梯时间T i3 按照一定比例量化，对目标函数T(c1, c 2,... c k) 利用Visual C++ 面向对象程序设计语言进行枚举求解，穷尽各种情况，取得最
优解。而模型Ⅱ是对模型Ⅰ的改进与完善，并将电梯能量损耗 Ek 作为目标函数
S：目标函数（由两部分构成），包括时间T 和电梯的能量损耗 Ek 。
m1 ：师生等待电梯+乘坐电梯所需时间的权重，无量纲。
m2 ：师生爬行楼梯所需时间的权重，无量纲。
m3 ：电梯能量损耗的权重，量纲为s/J。
3
4.2 在模型建立及求解的过程中常用的数学表达式
在楼段 ci,ci1，每一次电梯从静止、加速到匀速、再到减速停靠在目的层所花
的层时，电梯里这一批乘客所花的时间之和。 Ek ：电梯停留了k 层所消耗的能量。
ck ：假设电梯最终停靠在 c0 1、c1、c2、ck-1、ck 此若干层，用半开半闭区间
ci ,ci1 表示从 ci +1 到 ci1 其间的 ci1-ci 层楼。
i ：第 ci 层和第 ci1 层之间的楼层数，即 i =ci1-ci
1. 进入电梯之前在 c0 层（即第一层）等待所花去的时间Ti1 ；
2. 进入电梯之后直到到达电梯所能停靠的楼层（ ci或ci1 ）所花去的时间Ti2 ; 3. 出电梯之后，有些人可能需要通过爬行楼梯若干层才能到达目的层（目
的层在刚好在电梯停靠层的乘客不用考虑），这些人所花去的时间Ti3 。
于是Ti=Ti1 +Ti2 +Ti3 。由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先
2
表3 电梯停留时间数据表
时间点 楼层/层 停留时间
时间点 楼层/层 停留时
间
8：08
9
10.19
8：27
8
12.78
8：10
8
7.12
8：28
9
10.63
8：12
8
9.92
8：30
9
14.21
8：13
9
17.10
8：31
9
13.67
8：15
10
8.97
8：32
8
11.08
8：16
10
6.58
8：33
取平均值，得到电梯停留的平均时间为：11.0725 秒
4. 符号及表达式说明
4.1 符号说明 N：主楼的总楼层数。 M：电梯每一趟所容纳的平均乘客数量。 r：人步行上、下一层楼梯所用的平均时间。 a：电梯每次停靠时所停留的平均时间。 T：每一批乘客（把电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批）最终到达目
2
2
i i 1 (-1)i r
22
2
注意：此处先不求Ti1 ，因为在求电梯里每一批乘客所花的时间之总和T时一起计 算，会使计算难度降低。
5.1.3 特殊楼段考虑：
在(ck,N]这一段上，不能再用以上两道式子来求Tk1和Tk2，因为电梯最终不一定
会停在第N 层，另求如下：
制定电梯的优化调度方案需要考虑的因素很复杂，并且有很多因素是随机 的。为了抓住重点，简化模型以及方便求解，必须作一定的简化假设，设定如下：
1. 假设周一至周五的上课高峰时段中，等待电梯、乘坐电梯的人数是均匀 分布的；
2. 临近上课、下课的高峰时间，等待电梯、乘坐电梯的人数随时间呈均匀 分布；
3. 等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接 受这个指令。
N
我们把大楼分段，分法如下：把大楼分成 c0,c1（即 1,c1 , c1,c2 ，……，
ck-1,ck ， ck ,N 。
用Ti 表示所有在 ci,ci1 (其中 0 i k-1即不包括 ck ,N )这一楼段下电
梯并到达各自的目的层的乘客所花去的时间之和；而Ti 由以下几部分组成：
调查方法：随机抽样测量，多次测量，利用最小二乘法或者平均选择最适合 数据
工具：秒表，记录本 所取得数据如下：
表1 电梯运行时间数据表
楼层/层
运行时间数据/秒
起始层 终止层
数据1
数据2
数据3
数据4
1
6
16.51
16.32
16.43
16.29
6
1
14.39
14.25
14.17
14.32
6
7
4.52
4.53
模型I：时间规划模型。 模型Ⅱ：近似加权求和模型。 5.1 关于模型Ⅰ的建立
根据假设，本模型考虑在上课高峰期学生使用电梯的情况。每一批乘客（把 电梯平均每次能容纳最大数目的乘客当成一批，按假设是 M 人）最终到达目的 层时，电梯里这一批所有乘客所花的时间之和T。
4
由于假设要前往每一层的乘客数量一样多，所以可以先考虑每一层进一个人 的情况下的时间，再乘以系数 M 。

M N
k 1
( Ti2
i0
Tk2）+
M N
k 1
( Ti3
i0
k
Tk3）+ Ti1
i0

M N
k 1
太原工业学院数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了太原工业学院数学建模竞赛的竞赛规则与赛场纪律。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其 他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式 在正文引用处和参考文献中明确列出。


i 2
ti

ia i
5
5.1.2 第二步：求: Ti3
Ti3
={2*（1+2+...+

ci
1 -ci 2
）- 1 (-1)ci1-ci 2
ci1-ci 2
}*r
=( ci1-ci 1 (-1)ci1-ci ) ci1-ci * r
2
s c1,c2,ck 的一部分，求解出1号电梯在第8，10 层停靠，2号电梯在第7，9 层
停靠的结果。此结果基本上能够使师生的不满意度达到最小，同时保证电梯的能 耗相对较小。
我们认为，本文的模型假设简单但合乎情理，利用Visual C++ 面向对象程 序设计语言，对各种情况进行枚举，所得到的结果具有科学性。在模型讨论与分 析阶段中，本文根据实际情况对电梯的优化调度方案进行理论剖析，并对极端情 况进行分解。从数据处理方面，本文给出了模型参数灵敏度分析，提高结果的可 信度。如果要考虑更复杂的情况，该模型也可以对假设和其他各方面进行改进， 容易进行推广。因此这是一个比较理想的优化模型。
k 1
Tk2 =(N ck ) t j (N ck ) p(ck c0 ) kq j0
Tk 3
1
2 .... (N
ck ) * r

(N
ck )(N 2
ck
1) * r
5.1.4 最终求出T ：
T
T (c1,c2....ck )
1.3 问题提出
根据实际情况，现要求解决下列问题： 任务1: 学校供学生使用的两部电梯只能在六层以上电梯停靠，教师电梯可 在各楼层间停靠。分析问题，进行建立模型的前期准备。建立数学模型，设计一 个电梯调度方案，减少大家的等待时间。 任务2：对所提出的方案可能会带来的效果进行科学预测和评价。
2. 模型假设
去的时间t可以认为跟电梯经过的楼层数 ci1-ci 成一次函数的关系，式子如下：
ti =p*（ci1 -ci）+q （其中p，q 为待定常数。）
（1）
根据表5中的数据，利用Excel 软件图表工具可以得到以下图以及常数p，q：
表5
1
4.4625
1
4.4675
2
8.85
2
8.91255
5
14.2825
是，目的层在 ci1 , ci+2 ,
……

i 2

的乘客选择在
ci
层下电梯，然后爬上
目的层；而目的层在

i 2

＋1，……，
ci1
的乘客选择在
ci
1
下电梯，然
后走到目的层；
5.1.1 第一步：求: Ti2
i1
Ti2 =（ci1 -ci） t j
j0

ci1 ci 2
ti
关键词：优化调度 求和模型 最小二乘法 Visual C++编程
1.1 基本情况
1. 问题重述
太原工业学院主楼共12楼，其内设有3部电梯，其中1部是教师专用的，另外2 部 供学生使用的。等电梯的人给出上、下楼的信号，电梯只有在空闲或同方向行进 时才接受这个指令。
1.2 问题由来
由于我校学生人数较多，致使电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上、下 课的时候，教师和学生通常要等待很长的时间，所以埋怨声很多。