数字电子技术基础 第五版 ppt 高等教育出版社

口诀：
去掉反。
（19）
互为反变量
3.混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（20）
( AB ABC) ( AC ABC)
例：用代入规则证明德 摩根定理也适用于多 变量的情况。 二变量的德 摩根定理为：
AB A B A B AB
1 2
（22）
AB A B A B AB
1 2
以（B· C）代入（1）式中B，以（B+C）代入 （2）式中B，则得到：
Α(ΒC) Α (ΒC) Α Β C
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 0 0 0 0 1 1 1
（32）
二、逻辑函数式
由规定当主裁A和至少一个副裁B、C
认定成绩有效时，则运动员成绩Y有效， 可知：
Y=A · （B+C）
对于较复杂的逻辑问题，往往很难直
（24）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
（25）
例2： 2 A B C D E F
反号不动
F2 A B C D E
逻辑问题：裁判电路
问题描述如下：
举重比赛中有A、B、C三个裁判，A为 主裁，B、C为副裁，规定当主裁和至少一 个副裁认定成绩有效时，则运动员成绩Y有 效；否则无效。
问题抽象：输入变量A、B、C分别代表主
裁和两个副裁，同意为1；输出变量Y代表 运动员成绩，有效为1。
（31）
一、真值表
列真值表的方法： 一般按二进制的 顺序，输出与输 入状态一一对应， 列出所有可能的 状态。
内容提要
本章介绍分析和设计数字逻辑电路时使用的数学 工具，重点内容有： 1、逻辑代数的基本公式和常用公式； 2、逻辑代数的基本定理； 3、逻辑函数的各种表示方法及相互转换； 4、逻辑函数的化简方法； 5、约束项、任意项、无关项的概念以及无关项 在化简逻辑函数中的应用。
（2）
§2.1 概述
在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取 值只有两个：1（逻辑壹）、0（逻辑零）。 0和1表示两个对立的逻辑状态。
≥1
≥1 &
&
A
1
B
1
C
1
（39）
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式
A B C Y=ALeabharlann BaiduBC+ABC
例如： Y=A+BC+ABC 求它的真值表。
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1
· · ·
（37）
3、由逻辑图写逻辑函数式
A
1
A
&
AB
B
1 B
≥1
Y=A B+AB Y
&
AB
（38）
4、由函数式画逻辑图 已知逻辑函数为 Y A BC ABC C 画出对应的逻辑图。
第二章 逻辑代数基础
§2.1 概述 §2.2 逻辑代数中的三种基本运算 §2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 §2.4 逻辑代数的基本定理 §2.5 §2.6 §2.7 *§2.8 逻辑函数及其表示方法 逻辑函数的化简方法 具有无关项的逻辑函数及其化简 用Multisim进行逻辑函数的化简与变换
（1）

（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
短项
长项
1.原变量的吸收： A + AB = A 证明： 左式=A(1+B)
=A
=右式 原式成立
||
1 口诀：
长中含短,
留下短。
（18）
原(反)变量
反(原)变量
2. 反变量的吸收：
添冗余项
A+AB=A+ B
证明： 左式 A AB AB A B( A A) =右式
||
1 长中含反,
反号不动
A ( B C D E)
A (B C D E)

F2 A B A C A D E
与或式
（26）
2.4.3 对偶定理
对偶式：将函数式F中所有的
+
+
F 新表达式： D
常量取反 对偶定理：当某个逻辑恒等式成立时， 则其对偶式也成立。
方法： ①找出所有使输 出为1的输入组合； ② 将每一种组合以1 对应原变量， 0对应反 变量的方法变换为逻辑 符号与的形式；
ABC ABC
ABC
③ 将所有② 的结 果相加(或)，得到的函 数式就是Y。
Y=ABC+ABC+ABC
（36）
2、由函数式写真值表
将输入变量的各种组合一一代入函数式中计
算输出变量值，全部完成后得到真值表。
（5）
真值表特点: 任0 则0, 全1则1
二、 “或”逻辑
或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个 以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
A B C E
规定:
开关合为逻辑“1” Y 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（6）
A B C
E 真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 1 1 1 1
R E A
规定:
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
Y
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（8）
R E
真值表 A 0 1 Y 1 0
逻辑式： Y A
A
Y
逻辑非 (逻辑反) 逻辑符号：
A 运算规则：
1
Y
真值表特点: 1则0, 0则1。
1 0 , 0 1
（9）
图2.2.2 与、或、非的图形符号
真值表特点： 任1 则1, 全0则0。 Y 逻辑式：Y=A+B+C
逻辑加法 (逻辑或) 逻辑符号： A 1 B C 或逻辑运算规则: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1
（7）
Y
三、 “非”逻辑
“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件 不具备时事件发生（成立），条件具备 时事件不发生。
普通代数 不适用!
（14）
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=A
接写出逻辑函数式，可以通过真值表的 帮助来获得逻辑函数式。
（33）
三、逻辑图
把相应的逻辑关系用逻辑符号和 连线表示出来，就构成了逻辑图。
A B
C A & & 1 Y
（34）
四、波形图
波形图：将逻辑函数输入变量每一种可能出现 的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起 来的图形。
A
0 0
0 0
1 1
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
AB AC =右式
4. A · · A B=A · B
证明：
A· · A B=A
A· B = A· A· (A+B) =A · B
(A+B)=A A · · A· A B= A· · ? A B=
A √ ×A A· B A· B × ×
（21）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理 内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B
（12）
异或逻辑真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0
同或逻辑真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式
四、几种常用的复合逻辑运算
图2.2.3 复合逻辑的图形符号和运算符号
（11）
与非逻辑真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 1 1 1 1 1 1 0
或非逻辑真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 0
见表2.3.1： 一、基本定律
乘运算规则: 表中1，2，3，4
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
加运算规则: 表中11，12，13，14
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
非运算规则: 表中 9，10
1 0 0
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
t t t
B
C
0 0
0 1
0 1
0 0
Y
0 0
0
t
t
（35）
五、各种表示方法间的相互转换
1、由真值表写函数式
A 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 11 00 11 Y 0 0 0 0 0 1 1 1
（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
若 F1 A B C D 0
对 偶 式
则： F1D (A B) (C D) 1 AC AD BC BD
（27）
注：证明两个逻辑式相等时，也可以 通过证明它们的对偶式相等来完成。
（28）
§2.5
逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数
事物之间的逻辑关系可以通过描述逻辑输 入变量和输出变量的变化关系来确定，这 是一种函数关系，称为逻辑函数。 记为：Y= f（A，B，C，· ） · · 例如与逻辑式：Y= A · 就是一个两输入 B 变量，一输出变量的逻辑函数。 逻辑函数的输入和输出取值为0和1。
AA
1 0
0 1
（13）
二、交换律：表中5，15
A• B=B • A A+B=B+A
三、结合律：表中6，16
A• (B • C)=(A • B) • C A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
四、分配律：表中7，17
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
A
E 真值表 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
B
C Y
逻辑式：Y=A•B•C 逻辑乘法 （逻辑与） 逻辑符号： A B C & Y
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 0 0 0 0 0 0 1
与逻辑运算规则： 0 • 0=0 1 • 0=0 0 • 1=0 1 • 1=1
（16）
用真值表证明摩根定理成立
A· B=A+B
√
1 1 0
A+B= A · B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1=A· B 1
Y2=A+B 1 相等 1 1 0
（17）
2.3.2 若干常用公式--几种形式的吸收律
见表2.3.3： 吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去 掉 被消化了。