数学文化——分形与混沌

B.B.Mandelbrot： B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创 1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创 造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与 造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与 欧几里得外形相反，是没有规则的。” 欧几里得外形相反，是没有规则的。” “首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从 远处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模 样——它是自相似的。 ——它是自相似的。
2. Mandelbrot集 Mandelbrot集
3. E.N.Lorenz的工作 E.N.Lorenz的工作 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现 是混沌认识过程中的一个里程碑。 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进 行长期天气预报。 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 ）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。 Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。
只有对于短期预报，我们才关 心变化的细节。对于长期预报，人 们更注意各种平均量的发展趋势， 例如今后20年内华北年降水量的多 例如今后20年内华北年降水量的多 少。 混沌动力学的进步，恰恰在这 方面提高了人类的预报本领。
3.基于混沌理论的保密通信、信 3.基于混沌理论的保密通信、信 息加密和信息隐藏技术的研究已成为 国际热门前沿课题之一，也是高科技 研究的一个新领域。 尽管已有许多混沌加密方案被提 出，但混沌密码学的理论还未完全成 熟，混沌密码学的研究仍然是一个新 的具有挑战性的前沿课题。
三 混沌学的应用
1.通过对生命现象进行的考察，发现各 1.通过对生命现象进行的考察，发现各 种各样的生物节律既非完全周期，又不可 能属于纯粹随机，它们既有与自然界周期 （季节，昼夜等）协调的一面，又有着内 在的复杂性质。 20世纪20年代后期已经有人用非线性电 20世纪20年代后期已经有人用非线性电 路模拟过心脏搏动。近几年更发现了心律 不齐等病症与混 沌运动的联系。
4. 逻辑斯蒂映射（Logistic） 逻辑斯蒂映射（Logistic） 首先选定一个在(0,4)区间内的参数k 首先选定一个在(0,4)区间内的参数k， 然后对于任意一个(0,1)区间内的初始值x_0， 然后对于任意一个(0,1)区间内的初始值x_0， 我们令 x_1=kx_0(1x_1=kx_0(1-x_0) 由均值不等式可知x_1也在(0,1)区间内，可 由均值不等式可知x_1也在(0,1)区间内，可 以继续令 x_2=kx_1(1x_2=kx_1(1-x_1)
周期性让位于混沌。
二 关于混沌的思考
1. 混沌的特点 1) 混沌是决定论系统的内在随机性，这种 随机性与我们过去所了解的随机性现象， 比如抛硬币等有很大的区别。 2) 混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统 中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混 沌系统，则是“失之毫厘，谬以千里” 沌系统，则是“失之毫厘，谬以千里”。 3) 混沌不是简单的无序，更不是通常意义 下的有序。
2. 混沌的意义 1) 混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的。 数学危机是人们对于数学根基的质疑，而混沌 则是人们在看似简单的问题中发现了复杂的现 象。 2) 混沌绝不单单是有趣的数学现象，混沌是比 有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有 了更深一层的认识，为我们研究自然的复杂性 开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界 认识论上的一些哲学思考。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其 外形大致和以前观察的整体形状相似。 ” “自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其 他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整 体非常相似。其生成规则保证了小尺度上 的特征成长后就变成大尺度上的特征。” 的特征成长后就变成大尺度上的特征。” ---- B.B.Mandelbrot
这看似极其简单，但Mandelbrot发现： 这看似极其简单，但Mandelbrot发现：
当测量单位变小时， 所得的长度是无限增大的。
在理论数学中，瑞典数学家Koch早在 在理论数学中，瑞典数学家Koch早在 1904年就构造了如今称之为“ 1904年就构造了如今称之为“柯赫曲 线”(Koch curve)的几何对象。 curve)的几何对象。
从海岸线长度谈起
分形与混沌
一 问题的起源
1. B.B.Mandelbrot的工作 B.B.Mandelbrot的工作 1967年法国数学家 1967年法国数学家 B.B.Mandelbrot在 科学》 B.B.Mandelbrot在《科学》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长？” 。 英国的海岸线有多长？”
当增大到3.56，周期又加倍到8 当增大到3.56，周期又加倍到8；到 3.567，周期达到16，此后便是更快速 3.567，周期达到16，此后便是更快速 的32，64，128…周期倍增数列。 32，64，128… 这种倍周期分岔速度如此之快，以 至到3.5699… 至到3.5699…就结束了，倍周期分岔现 象突然中断：
如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。 癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性， 而正常人的脑电波近乎随机讯号。 进一步测量表明它们不是随机的，而是接 近于混沌系统。 虽然距离最终认清它们还很远，但现 在已有人进行利用混沌过程预测和控制癫 痫，心律不齐等等病症。
2. 对于气象学研究方面，似乎 混沌动力学的发展排除了长期预报 的可能性。 但是另一方面我们现在对于预 报问题有了更符合实际的态度。其 实对短期预报和长期预报的要求从 来不同。
4. 目前将将混沌理论应用到经济 理论上的研究也十分活跃，但混沌理 论最现实应用的应属于美国一交通工 程师小组，他们在1988年把混沌与错 程师小组，他们在1988年把混沌与错 综复杂的交通图形联系了起来，若有 人被停停走走堵源自在公路上，那他就 可以把责任推给混沌。
对于取值不太大的k 对于取值不太大的k，通过多次迭代发 现不管初始值如何，最后结果总是稳定的， 而且稳定状态不依赖于初始值。 但当k超过3 但当k超过3时，情况发生了变化，稳 定状态变为两个数值。 继续增大k 3.444…时，周期2 继续增大k到3.444…时，周期2的稳定 状态也不再出现，出现周期4 状态也不再出现，出现周期4循环。