第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

ij,k ilj glk glkilj
定义式：
ij , k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F i x j
gi
F
i k ij
gk
F i x j
gi
F k ikj gi
矢量分量的协变导数
F g
F x
i j
F k ikj
gi
i ;j i
张量分量对坐标的协变导数
★矢量场函数的梯度
则右梯度：
F
F x j
gj
F;
i j
gi
g
j
Fi; j gi g j
左梯度：
F
gj
F x j
F;
i j
O r r
gi (x j x j )
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号
g j xi
ikj gk
ikj
g j xi
gk
定义式
从定义式，可探讨性质：
由于
g j xi
xi
r x j
T (r )
dT dr
T xi
gi
从而可得右梯度和左梯度：
T T(r) T gi xi
T
gi
T xi
由此可得： dT (T) dr dr (T)
张量分量对坐标的协变导数
为了计算
T ，则必须引入协变导数
xi
★矢量场函数的梯度
F x j
(F i gi ) x j
F i x j
gi
Fi
gi x j
逆变基矢量的导数
gi x j
ijk gk
g
对坐标的导数，
j ji
的计算公式
g g1, g2, g3 g1 g2 g3
g xi
j ji
g
j ji
g
gxi
ln g xi
1 2
ln g
xi
张量场函数对矢径的导数、梯度
标量场函数f (r)的梯度 r r xi
df
f xi
dxi
T
ij ; k
g
k
gi
g
j
Ti
j ;k
g
k
g
i
g
j
T
i j;k
g
k
gi
g
j
Tij;k gk gi g j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
其中
T ij ;k
T ij xk
T
im
j mk
T mjimk
Tij ;k
Tij xk
Timmjk
Tmjimk
Tj i;k
Ti j xk
Tm jimk
g
j
gi
Fi; j g j gi
引入新符号
j
来表示矢量分量的协变导数 ;j
F
gj
F x j
F;ij g j gi
Fi; j g j gi
j F i g j gi j Fi g j gi
张量分量对坐标的协变导数 ★矢量场函数的梯度
特殊矢量：矢径r，有 r r G
注：只有在笛卡尔坐标系下才有
gij xk
gi xk
gj
gi
g j xk
ki, j
kj,i
gij xk
ij , k
ik, j
g jk xi
Hale Waihona Puke Baidu
jk ,i
ji,k
gki x j
ij ,k
1 g jk
2
xi
gik x j
gij xk
lij g klij,k
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
第4章 曲线坐标张量分析
2020年4月5日
主要内容
基矢量的导数，Christoffel符号 张量场函数对矢径的导数、梯度 张量分量对坐标的协变导数 张量场函数的散度和旋度 积分定理 Riemann-Christoffel张量（曲率张量） 张量方程的曲线坐标分量表示方法 非完整系与物理分量 正交曲线坐标系中的物理分量
2r xix j
2r x jxi
gi x j
ikj kji 可证明，ikj 共有18个独立的分量，且 ikj 不是张量分量。
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
第一类Christoffel符号
g j xi
ikj gk
ilj glk gk
ij,k gk
★张量场函数T(r)的散度
T
T xk
gk
T ij ;k
gi
g
j
gk
T ij ;k
gi
k j
T ij ;
j
gi
T
gk
T xk
gk
T ij ;k
gi g j
Tk ij
i ;k
g
j
T ij ;i
g
j
T T
张量场函数的散度和旋度
矢量场函数巨漂亮的结果
F;ii
F i xi
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 张量场函数：T(r)
r r xi
T(r)之所以被称为场函数，是因为它是矢径r的函数。
在曲线坐标系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描 述gi随坐标的变化而变化？
基矢量 gi
r xi
本身重要！
r
gi (x j )
gi gi (x1, x2 , x3 )
Ti
m j mk
Ti j;k
T
i j
xk
T
m j
imk
Tmi
m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
特殊张量1：度量张量G
gij ;k
0
G G 0
特殊张量2：置换张量
0
两个张量的并AB的协变导数
Aij Bkl
;m
A B ij ;m kl
Aij Bkl;m
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f
(r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
F;ij
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
gi
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
但是一般来说， AB A B+ AB
张量场函数的散度和旋度
从梯度开始理解散度和旋度
梯度(gradient) 散度(divergence)
(L
)
gk
(L xk
)
(L
)
gk
(L xk
)
旋度(curl)
(L
)
gk
(L xk
)
★矢量场函数F(r)的散度
divF
F
F
F xk
gk
F;ii
iF i
张量场函数的散度和旋度