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归一化法的改进
鉴于以上不同方法的优缺点，为扬长避短，本文提出一种更台理的标准化方法：改进的归一化方法。
改进的归一化方法对于决策矩阵按如下步骤进行标准化处理：
(1)对于正向指标，不必先进行此步处理，直接转步骤(2)。如果有逆向指标，先把逆向指标通过 转化为正向指标，这样变换的理曲是通过 ；把逆向指标变为正向指标，但是将使原来最大指标值变为0，最小指标值变为 ；而“ ”其原意在于通过坐标平移使这些指标值恢复到原先水平，最大标值还是 ,最小指标值还是 。为方便起见，把 ，，记为 。
名字
身高（米）
体重（万吨）
最大飞行速度（马赫）
攻击
防御
技能
赛文奥特曼
49
3.5
10
1100
900
1000
杰克奥特曼
48
3.7
9
1600
1300
1100
戴拿奥特曼
55
5.5
10
1500
1000
1200
迪迦奥特曼
53
4.4
7
1300
1200
1100
解：在决策指标中， 都为正向指标，得到决策矩阵
大家有兴趣的话可以自己算一下。
优点：经线性比例变换后，正、逆指标均为正向指标，而且考虑了指标值的差异性。
缺点：线型比例变换法要求任意 ,如果存在 则不适用。线型比例法对于逆向指标进行标准化处理时，实际上是进行了非线性变换，变换后的指标值无法真实反应原始指标关系。
3、极差变换法
优点：无论决策矩阵X中的指标值是整数还是负数，经过极差变换之后，标准化指标满足0 ，并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。
,(1 )
矩阵Y= 称为向量归一标准化矩阵。经过归一化处理后，其指标值均满足0 并且正、逆向指标的方向没有发生变化，即正向指标归一化变化后，仍是正向指标，逆向指标归一化变换后，仍是逆向指标。
优点：考虑了指标值的差异性。
缺点：正、逆向指标的方向没发生变化。逆向指标没有正向化，给评价带来困难。
2、线性比例变化法
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。
一、决策矩阵
经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)
设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai1≤i≤m），m个方案n个指标构成的矩阵
有三个作用：
1）变为正向指标
2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣
3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度差别过大的影响。
指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。
下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
在决策矩阵 = 中，令
X=(xij)m×n
称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。
决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
二、决策指标的标准化
指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。
将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。
(2)如果所有指标值都非负，不必先进行此步处理，直接转步骤(3)。如果存在第J个指标值 <0，可先进行坐标平移， ，经过这样处理，所有指标值都非负，避免了某些在 <0时不适用的限制。为方便起见，把 ．记为 。
(3)利用列和等于1的归一化方法进行标准化处理
令 ，(1≤i≤m，1≤j≤n)
(4)为了避免由于待评价对象数比较多(m比较大)造成 很小，可以让 乘以m，这样如果 接近平均值，也就接近1。
(1≤i≤m，1≤j≤n)
这种方法保留了以下优点：(1)经标准化处理后的标准值较真实地反映原指标值之间的关系，考虑了指标值之间的差异性;(2)正、逆向指标均化为正向指标，即均具有指标值越大越好的特性;(3)不管决策矩阵x中的指标值是正数还是负数，都适用，经过该标准化处理后，标准化指标值满足，0 <m。克服了以下缺点：(1)忽略了决策矩阵x中的指标值的差异性;(2)要求任意 >0，如果存在 ≤0则不适用；(3)进行了非线性变换，变换后的指标值无法客观地反映原始指标问的相互关系。(4)正、逆向指标的方向没有发生变化。即正向指标归一化变换后，仍是正向指标。逆向指标归一化变换后，也仍是逆向指标。该标准化方法保持了原始指标值间的相互关系。
5、定性指标的量化处理
如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。
对奥特曼不同奥特曼进行综合评价。这7个指标是，身高（ ）、体重（ ）、最大速度（ ）、攻击（ ）、防御（ ）、移动（ ）、技能（ ）,具体指标值如下表。
缺点：忽略了决策矩阵X中的指标值的差异性，如对于正向指标值 和 经过极差变换之后，均为 ，若以上都为逆指标值，经极差变换后都为 。所以，经极差变换后的指标值无法真实反应原始指标间的关系。
4、标准样本变换法
缺点：准样本变换法未区分正逆向指标；而且如果 比均值小，经标准化处理后， ,对于某些评价法如熵值法不适用。
鉴于以上不同方法的优缺点，为扬长避短，本文提出一种更台理的标准化方法：改进的归一化方法。
改进的归一化方法对于决策矩阵按如下步骤进行标准化处理：
(1)对于正向指标，不必先进行此步处理，直接转步骤(2)。如果有逆向指标，先把逆向指标通过 转化为正向指标，这样变换的理曲是通过 ；把逆向指标变为正向指标，但是将使原来最大指标值变为0，最小指标值变为 ；而“ ”其原意在于通过坐标平移使这些指标值恢复到原先水平，最大标值还是 ,最小指标值还是 。为方便起见，把 ，，记为 。
名字
身高（米）
体重（万吨）
最大飞行速度（马赫）
攻击
防御
技能
赛文奥特曼
49
3.5
10
1100
900
1000
杰克奥特曼
48
3.7
9
1600
1300
1100
戴拿奥特曼
55
5.5
10
1500
1000
1200
迪迦奥特曼
53
4.4
7
1300
1200
1100
解：在决策指标中， 都为正向指标，得到决策矩阵
大家有兴趣的话可以自己算一下。
优点：经线性比例变换后，正、逆指标均为正向指标，而且考虑了指标值的差异性。
缺点：线型比例变换法要求任意 ,如果存在 则不适用。线型比例法对于逆向指标进行标准化处理时，实际上是进行了非线性变换，变换后的指标值无法真实反应原始指标关系。
3、极差变换法
优点：无论决策矩阵X中的指标值是整数还是负数，经过极差变换之后，标准化指标满足0 ，并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。
,(1 )
矩阵Y= 称为向量归一标准化矩阵。经过归一化处理后，其指标值均满足0 并且正、逆向指标的方向没有发生变化，即正向指标归一化变化后，仍是正向指标，逆向指标归一化变换后，仍是逆向指标。
优点：考虑了指标值的差异性。
缺点：正、逆向指标的方向没发生变化。逆向指标没有正向化，给评价带来困难。
2、线性比例变化法
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。
一、决策矩阵
经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)
设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai1≤i≤m），m个方案n个指标构成的矩阵
有三个作用：
1）变为正向指标
2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣
3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度差别过大的影响。
指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。
下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
在决策矩阵 = 中，令
X=(xij)m×n
称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。
决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
二、决策指标的标准化
指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。
将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。
(2)如果所有指标值都非负，不必先进行此步处理，直接转步骤(3)。如果存在第J个指标值 <0，可先进行坐标平移， ，经过这样处理，所有指标值都非负，避免了某些在 <0时不适用的限制。为方便起见，把 ．记为 。
(3)利用列和等于1的归一化方法进行标准化处理
令 ，(1≤i≤m，1≤j≤n)
(4)为了避免由于待评价对象数比较多(m比较大)造成 很小，可以让 乘以m，这样如果 接近平均值，也就接近1。
(1≤i≤m，1≤j≤n)
这种方法保留了以下优点：(1)经标准化处理后的标准值较真实地反映原指标值之间的关系，考虑了指标值之间的差异性;(2)正、逆向指标均化为正向指标，即均具有指标值越大越好的特性;(3)不管决策矩阵x中的指标值是正数还是负数，都适用，经过该标准化处理后，标准化指标值满足，0 <m。克服了以下缺点：(1)忽略了决策矩阵x中的指标值的差异性;(2)要求任意 >0，如果存在 ≤0则不适用；(3)进行了非线性变换，变换后的指标值无法客观地反映原始指标问的相互关系。(4)正、逆向指标的方向没有发生变化。即正向指标归一化变换后，仍是正向指标。逆向指标归一化变换后，也仍是逆向指标。该标准化方法保持了原始指标值间的相互关系。
5、定性指标的量化处理
如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。
对奥特曼不同奥特曼进行综合评价。这7个指标是，身高（ ）、体重（ ）、最大速度（ ）、攻击（ ）、防御（ ）、移动（ ）、技能（ ）,具体指标值如下表。
缺点：忽略了决策矩阵X中的指标值的差异性，如对于正向指标值 和 经过极差变换之后，均为 ，若以上都为逆指标值，经极差变换后都为 。所以，经极差变换后的指标值无法真实反应原始指标间的关系。
4、标准样本变换法
缺点：准样本变换法未区分正逆向指标；而且如果 比均值小，经标准化处理后， ,对于某些评价法如熵值法不适用。