第七讲运筹学建模 ppt课件
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运筹学线性规划基本性质及建模PPT课件
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某厂拟生产甲乙两种适销产品，每件利润为3、5百元。甲 乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲乙产品的部 件分别需要A、B车间的生产能力1、2工时；两种产品的部件最 后都要在C车间装配，装配每件甲乙产品分别需要3、4工时,A、 B、C三个车间每天可用于生产这两这种产品的工时分别为8、12、 36，应如何安排生产才能获利最多？
max z 3x1 5x2
x1 8
s.t.
2x2 3x1
12 4x2
36
x1 0, x2 0
其中max是英文maximize(最大化)的缩写；s.t.是subject to(受约束于)的 缩写。
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1.2 线性规划的一般模型
（1）可用一些变量表示这类问题的待定方案，这 些变量的一组定值就代表一个具体方案。因此可将 这些变量称为决策变量，并要求它们为非负。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用 关于决策变量的线性不等式或等式来表示。 （3）有一个期望达到的目标，这些目标能以某种 确定的数量指标刻画出来，而这种数量指标可表示 为关于决策变量的线性函数，按所考虑问题的不同， 要求该函数op值t 最z 大c1化x1 或 c最2 x小2 化。这cn x类n 问题(1就1)是线性 规划问题。一般LP模型可表示如下：
称 式
为 称
目 为
标 函
函 数
数 约
， 束
opt称 ；(1-
为其优化， 3)式中的
也z 可c称1x1为目c2标x2要求
称为非负性
；(c1n-x2n)
约束；
运筹学课件k7
存储策略
策略：几天进货一次，一次订购多少 三种策略： 1.t0循环策略 2.(s,S)策略 3.(t0 ,s,S)策略
优化尺度－－费用
存储费C1：库存期间发生的费用 内涵：管理费、租金、物耗、利息 订购费C3：为订购支付的费用 内涵：差旅费、邮电费 缺货费C2 ：供不应求导致的损失 内涵：停工待料、违约金、机会损失 使得总费用最低的策略为最优策略
第7章 存储论
本章要点 存储论的基本概念 确定性存储模型的特点 不允许缺货条件下的建模 随机性存储模型的特点 需求离散与连续型下的随机性库存建模
第1节 存储论概述
存储现象：成袋买粮、成桶买油 存储目的：应对不确定性，满足不时之需 存储原因：解决供需矛盾 1、供需时间不平衡 2、供需空间不平衡 3、供需数量不平衡 讨论：你遇到的存储问题
根据不同的概率和供货提前期确定预定服务水平（如保证95%概率不缺货） 例如，假设市场每日的需求是均值D，标准差为 的正态分布。 设提前期为L，期望值= ，方差= ，服务水平为 ，订货点为R，得
则可变为
第2节 存储论的基本概念
存储模型 存储是供需之间的平衡装置，存储量因供应而增加，因需求而减少；需求是已知参数，供应是可控变量
存储状态
供应
需求
存储论研究什么？
在既定的需求约束之下，以适当的存储策略，寻求最优化的存储水平。 决策变量：订购批量、订购周期、订购批次。
存储状态
外部订购自行生产
间断、连续确定、随机
一、需求为随机离散型
例4、挂历新年期间每售出一千张可赢利700元。否则须削价处理且一定可以售完，但是此时每千张赔本400元。据经验统计数据，市场需求的概率如下 问：应该订购多少张？
需求量(千张)
策略：几天进货一次，一次订购多少 三种策略： 1.t0循环策略 2.(s,S)策略 3.(t0 ,s,S)策略
优化尺度－－费用
存储费C1：库存期间发生的费用 内涵：管理费、租金、物耗、利息 订购费C3：为订购支付的费用 内涵：差旅费、邮电费 缺货费C2 ：供不应求导致的损失 内涵：停工待料、违约金、机会损失 使得总费用最低的策略为最优策略
第7章 存储论
本章要点 存储论的基本概念 确定性存储模型的特点 不允许缺货条件下的建模 随机性存储模型的特点 需求离散与连续型下的随机性库存建模
第1节 存储论概述
存储现象：成袋买粮、成桶买油 存储目的：应对不确定性，满足不时之需 存储原因：解决供需矛盾 1、供需时间不平衡 2、供需空间不平衡 3、供需数量不平衡 讨论：你遇到的存储问题
根据不同的概率和供货提前期确定预定服务水平（如保证95%概率不缺货） 例如，假设市场每日的需求是均值D，标准差为 的正态分布。 设提前期为L，期望值= ，方差= ，服务水平为 ，订货点为R，得
则可变为
第2节 存储论的基本概念
存储模型 存储是供需之间的平衡装置，存储量因供应而增加，因需求而减少；需求是已知参数，供应是可控变量
存储状态
供应
需求
存储论研究什么？
在既定的需求约束之下，以适当的存储策略，寻求最优化的存储水平。 决策变量：订购批量、订购周期、订购批次。
存储状态
外部订购自行生产
间断、连续确定、随机
一、需求为随机离散型
例4、挂历新年期间每售出一千张可赢利700元。否则须削价处理且一定可以售完，但是此时每千张赔本400元。据经验统计数据，市场需求的概率如下 问：应该订购多少张？
需求量(千张)
第七讲运筹学建模 ppt课件
16
表 7-5
17
(3)模型的建立与求解.
如上讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运
输问题模型”：
44
min z=
cij xij
i1 j1
4
c ij x ij a i
i1
4
s . t . c ij x ij b j
j1
x ij 0
(7.1.4)
18
x11＝10， x12＝15， x23＝5， x33＝20， x34＝10， x44＝10
0 , 决 定 不 投 资 第 j个 项 目 xj 1 ， 决 定 投 资 第 个 j项 目(j1 ,2 ,3 ,4 )
因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数，故该 0—1型整数规划问题的约束条件为：
36
5x1 4 x2 3x3 8x4 18
8
x1 x1
7 x2 10 Βιβλιοθήκη 29 x3 6 x4 2 x3 10 x4
x33
15 25
x14 x24 x34 x44 2 0
(7.1.2)
12
过该公司的实际生产能力，xij应满足：
x11 x12 x13 x14 25
xx2324
x23 x44
x24
35 30
x44
10
(4.2.3)
13
下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用 表”.因第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本cij应该 是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其 “成本费用表”如表7-4所示.
5
表 7-1
6
表 7-2
7
由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输 问题的数学模型如下：
表 7-5
17
(3)模型的建立与求解.
如上讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运
输问题模型”：
44
min z=
cij xij
i1 j1
4
c ij x ij a i
i1
4
s . t . c ij x ij b j
j1
x ij 0
(7.1.4)
18
x11＝10， x12＝15， x23＝5， x33＝20， x34＝10， x44＝10
0 , 决 定 不 投 资 第 j个 项 目 xj 1 ， 决 定 投 资 第 个 j项 目(j1 ,2 ,3 ,4 )
因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数，故该 0—1型整数规划问题的约束条件为：
36
5x1 4 x2 3x3 8x4 18
8
x1 x1
7 x2 10 Βιβλιοθήκη 29 x3 6 x4 2 x3 10 x4
x33
15 25
x14 x24 x34 x44 2 0
(7.1.2)
12
过该公司的实际生产能力，xij应满足：
x11 x12 x13 x14 25
xx2324
x23 x44
x24
35 30
x44
10
(4.2.3)
13
下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用 表”.因第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本cij应该 是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其 “成本费用表”如表7-4所示.
5
表 7-1
6
表 7-2
7
由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输 问题的数学模型如下：
运筹学教材课件(第七章 库存论)
7
27
7.2.2 其他确定性库存模型
逐渐补充库存，不允许缺货模型
1. 模型假设
（1）一定时间tp 内生产批量Q，单位时间内的产量即生产速率以P
表示P Q / tp （2）需求速度为R，由于不允许缺货，故P>R。生产的产品一部分 满足需求，剩余部分才作为库存。
此模型库存状态变化如图7—9所示。 Q
S)
S
，则
t3
Q1 PR
(7－19) (7－20) (7－21)
7.2.2 其他确定性库存模型
将（7－21）代入（7－20）得 t PQ1
(P R)R
根据相似三角形的比例关系得 t2 S ， 将（7－22）代入此式得： t Q1
t2
(P
PS R)R
把（7－23）代入（7－19）得：
(7－22) (7－23)
本模型是以上三种模型的综合，假设条件除允许缺货，生产需 一定时间外，其余条件皆与第一模型相同。 此模型的库存状态变化图如7－11所示。
Q
斜率 P-R
Q1
斜率-R
Q 1 -S
t3
t2
T
t 图 7－11 库存状态变化图
7.2.2 其他确定性库存模型
2. 建立库存模型
在一个周期t内的平均装配费用为 C3
7.2.1 瞬时进货，不允许缺货模型
2. 建立库存模型
由于需求速度为常数R，故一个t时间段内的平均库存量
为
1 t
t
0
RTdT
1Rt 2
Q0 2
，库存费用为C1Rt
/
2
，t时间内总的平均
费用为：
C(t)
1 2
C1Rt
C3 t
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
《运筹学建模》课件
ห้องสมุดไป่ตู้ 致谢
感谢您的耐心学习，希望这门课程能为您的工作和学习带来帮助。
《运筹学建模》PPT课件
在本课程中，我们将探讨运筹学建模的基础知识和实际应用，介绍常用的数 学建模方法并通过案例分析和实践操作，帮助您掌握运筹学建模的基本方法。
课程介绍
课程目标和重要性
了解运筹学建模的基础知识，掌握数学建模方 法，应用于实际问题中。
课程内容概述
学习运筹学基础知识，数学建模方法以及案例 分析和实践操作。
模型，规划模型和分类模型。
3
优化模型
掌握最优化方法，了解规划和线性 规划等优化模型。
案例分析与实践
通过案例分析掌握运筹学建模的基本方法
通过典型案例，让学生了解运筹学建模的基本方法。
联系实际问题进行实践操作
通过实际问题，让学生实践运筹学建模的技巧。
课程总结与展望
总结课程的学习内容和收获
回顾主要的课程内容和知识点，总结学习内容 和收获。
展望运筹学建模在未来的发展
讨论运筹学建模在未来的应用和发展，探讨新 的研究方向和趋势。
QA
什么是运筹学建 模？
运筹学建模是运用数学建 立数学模型对复杂问题进 行求解的过程。
运筹学模型有哪 些类型？
运筹学模型主要有优化模 型、规划模型和分类模型 等。
如何学好运筹学 建模？
通过理论学习和实际操作 相结合，不断实践和提高 建模技能。
运筹学基础知识
1 运筹学的定义和背景
掌握运筹学的定义和起源，了解当前运筹学的研究热点和趋势。
2 运筹学在实际生活与工作中的应用
通过典型案例，介绍运筹学在各个领域的实际应用。
数学建模方法
1
建模的步骤和方法论
《运筹学建模》PPT课件
求线性规划方法－软件
LINDO软件包首先由Linus Schrage开发， 现在，美国的LINDO系统公司（LINDO System Inc.）拥有版权，是一种专门求 解数学规划（优化问题）的软件包。它 能求解线性规划、（0，1）规划、整数 规划、二次规划等优化问题，并能同时 给出灵敏度分析、影子价格以及最优解 的松弛分析，非常方便实用。
学完请删除！
运筹学简介
• 1.引言： 运筹学（Operations Research）主要研究 系统最优化。在我国公元前6世纪《孙 子兵法》中处处体现了军事运筹的思想， 贾思勰的《齐民要术》一书是一部体现 运筹思想、合理规划农事的宝贵文献。
欧美，在20世纪前叶，1914年提出了军 事运筹学中的兰彻斯特（Lanchester）战 斗方程；1917年排队论的先驱者丹麦工 程师爱尔朗（Erlang）在哥本哈根 公司 研究 通信系统时，提出了排队论的一 些著名公式；20世纪20年代初提出了存 贮论的最优批量公式；20世纪30年代， 在商业方面列温逊已经运用运筹思想来 分析商业广告和顾客心里等；20世纪30 年代末，美英对付德国……，20世纪50 年代中期，我国著名的科学家钱学森、 许国志等将运筹学从西方引入中国……。
• （2）运筹学是一门应用科学，它广泛应用现 有的科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决策提 供定量依据。
• （3）运筹学是给出问题坏的答案的艺术，否 则的话问题的结果会更坏。
运筹学的原则
为了有效地应用运筹学，必须遵循下列六 条原则：
（1）合伙原则 （2）催化原则 （3）互相渗透原则 （4）原则 （5）宽容原则 （6）平衡原则
f 70000 500x3 500x5
x1 x2
运筹学教材课件(第七章 库存论)
（1）单位缺货损失费为C2元，其余假设条件与第一模型相同。
此模型库存状态变化如图7—10所示。
Q S
S=Rt 1
0
T
t1
t1
t
t
图 7－10 库存状态变化图
Rt－S
其中 S 为最初库存量
7.2.2 其他确定性库存模型
2. 建立库存模型
t时间内所需存储费为C1
1 2
St1
1 2
C1
S2 R
t时间内所缺货损失费为C2
郑唯唯制作
7.1 基本库存问题
7.1.1 库存系统基本概念 （1）库存系统
输入(补充)
库存
图 7－1 库存系统
输出（需求）
（2）需求 Q
S
W
0
T
图 7－2 需求量随时间的间断变化
Q
S
W
0
T
图 7－3 需求量随时间的连续变化
（3）补充
7.1.2 库存系统基本策略
1. T循环策略
Q 当i T , 2T , , nT Xi 0 当i T , 2T , , nT (nT T0 )
Q 2
C3
D Q
（7-6）
C(Q0 ) min C(Q)
而最佳周期
t0
Q0 D
2C3 C1D
2C1C3D
（7-7） （7-8）
7.2.1 瞬时进货，不允许缺货模型
例7－1 某厂对某种材料的全年需求量为1040吨，其单价为
1200元/吨，每次采购该种材料的订货量为2040元，每年保管费为
170元/吨。试求工厂对该材料的最优订货批量，每年订货次数及全
2
(P
P
R)
Rt
此模型库存状态变化如图7—10所示。
Q S
S=Rt 1
0
T
t1
t1
t
t
图 7－10 库存状态变化图
Rt－S
其中 S 为最初库存量
7.2.2 其他确定性库存模型
2. 建立库存模型
t时间内所需存储费为C1
1 2
St1
1 2
C1
S2 R
t时间内所缺货损失费为C2
郑唯唯制作
7.1 基本库存问题
7.1.1 库存系统基本概念 （1）库存系统
输入(补充)
库存
图 7－1 库存系统
输出（需求）
（2）需求 Q
S
W
0
T
图 7－2 需求量随时间的间断变化
Q
S
W
0
T
图 7－3 需求量随时间的连续变化
（3）补充
7.1.2 库存系统基本策略
1. T循环策略
Q 当i T , 2T , , nT Xi 0 当i T , 2T , , nT (nT T0 )
Q 2
C3
D Q
（7-6）
C(Q0 ) min C(Q)
而最佳周期
t0
Q0 D
2C3 C1D
2C1C3D
（7-7） （7-8）
7.2.1 瞬时进货，不允许缺货模型
例7－1 某厂对某种材料的全年需求量为1040吨，其单价为
1200元/吨，每次采购该种材料的订货量为2040元，每年保管费为
170元/吨。试求工厂对该材料的最优订货批量，每年订货次数及全
2
(P
P
R)
Rt
第七章运筹学精品PPT课件
第五章 非线性数规划
Operations Research
Nonlinear Programming
§1 问题的提出
[eg.1
厂房，厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制，围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大，应如何选择 长宽尺寸？
分析：设长为 x1 米， 宽为 x2 米，则有
f
(x)
( x1
2)2
(x2
2)2
x1 x2 6 0 解
6x2
作f ( x)的等值线,即f ( x) c(常数), 等值线与直线相切于 D点, 在D点 2
得到最优解 x1*
x
* 2
3,
o
最小值 min f ( x) f ( x* ) 2.
D(3,3)
2
6 x1
6
分析：
Operations Research
则称f ( X )为R上的凸函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的严格凸函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的凹函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的严格凹函数 .
14
函数f(x)图示 f (x)
凸函数
凹函数
o x(1)
f (x)
o x(1)
f (x)
非凸非凹函数
x1 x2
max f ( x) x1 x2
Operations Research
Nonlinear Programming
§1 问题的提出
[eg.1
厂房，厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制，围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大，应如何选择 长宽尺寸？
分析：设长为 x1 米， 宽为 x2 米，则有
f
(x)
( x1
2)2
(x2
2)2
x1 x2 6 0 解
6x2
作f ( x)的等值线,即f ( x) c(常数), 等值线与直线相切于 D点, 在D点 2
得到最优解 x1*
x
* 2
3,
o
最小值 min f ( x) f ( x* ) 2.
D(3,3)
2
6 x1
6
分析：
Operations Research
则称f ( X )为R上的凸函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的严格凸函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的凹函数 .
• 若f (X (1) (1 )( X (2) )) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )
则称f ( X )为R上的严格凹函数 .
14
函数f(x)图示 f (x)
凸函数
凹函数
o x(1)
f (x)
o x(1)
f (x)
非凸非凹函数
x1 x2
max f ( x) x1 x2
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
第七讲运输规划问题
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 5 1 20 3
B2 3 6 10 5
B3 10 9 5 8
B4 4 6 7 4
产量 9 4 7
24
运筹学
门市部 工厂
1 2 3 需求总计
1 9 2 6 40
2 12 3 5 70
3 9 7 9 30
4 6 7 11 20
供应 50 60 50
门市 工厂
1 2 3 需求
26
运筹学
闭回路计算检验数的经济解释为： 在已给出初始解的表中，可以从任一空格出发，如从 (A1 , B1) 出发，若让 A1 的产品调 1 吨给B1，为了保持 产销平衡，就要依次作调整：在 (A1 , B3) 处减少 1 吨 ，(A2 , B3) 处增加 1 吨，(A2 , B1) 处减少 1 吨，即构成 了以(A1 , B1)空格为起点，其它为有数字格的闭回路。 可见这一调整方案使运费增加了： (+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)，这表明若这样调整运输方式将 增加运费。将“1” 填入(A1 , B1) 格，就是检验数。
运筹学
要求使总运费最小的调运方案。如果运输问题 的总产量等于其总销量，即
a b
i 1 i j 1
m
n
j
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称 为产销不平衡运输问题。建立在产销平衡情况下 的运输问题的数学模型。 解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数学 模型为:
某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销 售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工 厂到各销售点的单位产品运价如表所示。问该公司应如何 调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的运 费为最小。
B1 5 1 20 3
B2 3 6 10 5
B3 10 9 5 8
B4 4 6 7 4
产量 9 4 7
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运筹学
门市部 工厂
1 2 3 需求总计
1 9 2 6 40
2 12 3 5 70
3 9 7 9 30
4 6 7 11 20
供应 50 60 50
门市 工厂
1 2 3 需求
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运筹学
闭回路计算检验数的经济解释为： 在已给出初始解的表中，可以从任一空格出发，如从 (A1 , B1) 出发，若让 A1 的产品调 1 吨给B1，为了保持 产销平衡，就要依次作调整：在 (A1 , B3) 处减少 1 吨 ，(A2 , B3) 处增加 1 吨，(A2 , B1) 处减少 1 吨，即构成 了以(A1 , B1)空格为起点，其它为有数字格的闭回路。 可见这一调整方案使运费增加了： (+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)，这表明若这样调整运输方式将 增加运费。将“1” 填入(A1 , B1) 格，就是检验数。
运筹学
要求使总运费最小的调运方案。如果运输问题 的总产量等于其总销量，即
a b
i 1 i j 1
m
n
j
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称 为产销不平衡运输问题。建立在产销平衡情况下 的运输问题的数学模型。 解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数学 模型为:
某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销 售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工 厂到各销售点的单位产品运价如表所示。问该公司应如何 调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的运 费为最小。
运筹学PPT完整版
C 变量：决策变量和非决策变量
B 约束条件：线性等式或不等式
A 目标函数：求最大值或最小值
非线性规划
目标函数：非线性函数
约束条件：非线性不等式
求解方法：梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等
应用领域：生产计划、资 源分配、投资决策等
动态规划
基本概念：将复杂问题分解为若干子 0 1 问题，通过求解子问题来解决原问题
运筹学广泛应用于生产、运输、库存、销售、人力 资源等各个领域。
运筹学通过建立数学模型，求解最优解，以实现资 源的合理配置和高效利用。
运筹学的应用领域
生产与运营管理 项目管理 交通与运输规划
供应链管理 财务管理 资源分配与调度
运筹学的发展历程
起源：二战期间， 军事需求推动运 筹学的发展
20世纪50年代： 运筹学逐渐应用 于工业、经济等 领域
适用范围：解决资源分配、路径规划、 02 生产调度等问题
主要步骤：划分阶段、确定状态、建 0 3 立状态转移方程、求解最优解
特点：具有最优子结构性质，能够高 04 效地求解复杂问题
运筹学的实际应 用
生产计划与调度
生产计划：根据市场需求和生产能力制定生产计划， 包括生产数量、生产时间、生产地点等
生产调度：根据生产计划，合理分配生产资源，包 括人员、设备、原材料等
场趋势
运筹学在生物学中 的应用：分析生物 种群数量变化，预
测生物进化趋势
运筹学在工程学中 的应用：优化工程 设计，提高工程效
率
THANK YOU
汇报人：稻小壳
运筹学与人工智 能的结合，拓展
2 了运筹学的应用
领域
3 运筹学与人工智
能的结合，推动 了运筹学的理论 研究和实践应用
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21
2. 整数规划的分类 如不中特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性 规划模型大致可分为三类： 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
本节重点介绍0-1整数规划。
22
3.整数规划的实例 例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱 的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如表7-7所示， 问两种货物各装多少箱，可使获得利润最大？
10
表 7-3
11
(2)模型分析与变量的假设. 用运输问题模型求该问题最优解的关键在于怎样建立该
问题的产销平衡表及元素xij和单位运价表及元素cij.为此，我 们假设xij表示第i月生产并用于第j月交货的引擎数，因公司 必须完成合同，则xij应满足：
x11
10
x12 x13
x22 x23
2
7.1 运输问题模型
1.运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最 初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线 和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应 用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以 建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面 以“产销平衡模型”为例对运输问题进行简单的概括和描述.
(1)问题的提出. 北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机.其生产 过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于制成的机体， 该公司有若干近期必须交付使用的合同，现需安排今后四个 月飞机喷射引擎的生产计划，并需于每月末分别提供10、15 、25、20台引擎.已知该公司各月的生产能力和生产每台引 擎的成本如表7-3所示，又如果生产出来的引擎当月不能交 货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万 元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方 案，以使该公司今后四个月的生产费用最小.
3
某产品的生产有m个产地Ai(i＝1，2，…，m)，其生产 量分别为ai(i＝1，2，…，m)，而该产品的销售有n个销售地 Bj(j＝1，2，…，n)，其需要量分别为bj(j＝1，2，…，n).已 知该产品从产地Ai(i＝1，2，…，m)到销售地Bj(j＝1，2，… ，n)的单位运价为cij(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)， 试建立该运输问题的线性规划模型.
假设从产地Ai(i＝1，2，…，m)到销售地Bj(j＝1，2，… ，n)的运输量为xij.
4
我们可把运输量xij(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n) 汇总于产销平衡表7-1中，而把单位运价cij(i＝1，2，…，m ；j＝1，2，…，n)汇总于单位运价表7-2中.则在该产销平衡 表中，第j列的含义为：从各产地Ai(i＝1，2，…，m)发往销 售地j的部分运输量x1j，x2j，…，xmj的和应等于销量bj，第i 行的含义类同.
x33
15 25
x14 x24 x34 x44 2 0
(7.1.2)
12
过该公司的实际生产能力，xij应满足：
x11 x12 x13 x14 25
xx2324
x23 x44
x24
35 30
x44
10
(4.2.3)
13
下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用 表”.因第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本cij应该 是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其 “成本费用表”如表7-4所示.
形，此时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进
m
n
行讨论.例如当产量
a i 大于销量
b i 时，只需增加
i1
i 1
一个虚拟的销售地j＝n＋1，而该销售地的需要量为
m
n
ai bi
i1
i1
的情形类同.
n
即可.销量 b i i 1
m
大于产量 a i i1
9
2.应用实例 例1 生产时序的安排.
23
解：设甲、乙两种货物装运箱数分别为X1和X2，显 然X1和X2都要求为整数，最大利润为Z于是可建立整数规划 模型如下：
16
表 7-5
17
(3)模型的建立与求解.
如上讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运
输问题模型”：
44
min z=
cij xij
i1 j1
4
c ij x ij a i
i1
4
s . t . c ij x ij b j
j1
x ij 0
(7.1.4)
18
x11＝10， x12＝15， x23＝5， x33＝20， x34＝10， x44＝10
5
表 7-1
6
表 7-2
7
由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输 问题的数学模型如下：
mn
min Z=
cij xij
i1 j1
m
xij b j
j 1, ij a i i 1, 2 ,L m
j1
xij 0
(7.1.1)
8
当然，在实际问题的应用中，常出现产销不平衡的情
第七讲 运筹学模型
➢7.1 线性规划模型 ➢(运输问题模型) ➢7.2 0—1型整数规划模型 ➢7.3 目标规划模型 ➢7.4 非线性规划问题
1
运筹学的分支较多，本章我们只介绍线性规划、整数规 划、目标规划及非线性规划等方面的内容，重点讲解运筹学 模型的分析和建立，模型的求解通常使用LINGO软件来完 成.
14
表 7-4
15
由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销售地D， 使之能构造为产销平衡模型，并把“产销平衡表和单位运价 表”合二为一(见表7-5).在表7-5中，ai表示公司第i月的生产能 力，bj表示第j月的合同供应量，cij表示相应的成本费用，因 在实际问题中，当i>j时，xij＝0，故令相应的cij＝M.
44
min z= cijxij 77.3 i1 j1
今后四个月引擎数量的生产安排如表7-6所示.
19
表 7-6
月份
1
2
3
4
引擎生产数量
25
5
30
10
20
7.2 0—1型整数规划模型
7.2.1整数规划的定义和模型 1.整数规划的定义 在求解线性规划问题时,得到的最优解可能是分数或小数,
但许多实际一要求得到的解为整数才行。这种要求线性规划 有整数解的问题，称为整数规划（Integer programming)或简 称IP。
2. 整数规划的分类 如不中特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性 规划模型大致可分为三类： 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
本节重点介绍0-1整数规划。
22
3.整数规划的实例 例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱 的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如表7-7所示， 问两种货物各装多少箱，可使获得利润最大？
10
表 7-3
11
(2)模型分析与变量的假设. 用运输问题模型求该问题最优解的关键在于怎样建立该
问题的产销平衡表及元素xij和单位运价表及元素cij.为此，我 们假设xij表示第i月生产并用于第j月交货的引擎数，因公司 必须完成合同，则xij应满足：
x11
10
x12 x13
x22 x23
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7.1 运输问题模型
1.运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最 初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线 和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应 用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以 建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面 以“产销平衡模型”为例对运输问题进行简单的概括和描述.
(1)问题的提出. 北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机.其生产 过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于制成的机体， 该公司有若干近期必须交付使用的合同，现需安排今后四个 月飞机喷射引擎的生产计划，并需于每月末分别提供10、15 、25、20台引擎.已知该公司各月的生产能力和生产每台引 擎的成本如表7-3所示，又如果生产出来的引擎当月不能交 货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万 元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方 案，以使该公司今后四个月的生产费用最小.
3
某产品的生产有m个产地Ai(i＝1，2，…，m)，其生产 量分别为ai(i＝1，2，…，m)，而该产品的销售有n个销售地 Bj(j＝1，2，…，n)，其需要量分别为bj(j＝1，2，…，n).已 知该产品从产地Ai(i＝1，2，…，m)到销售地Bj(j＝1，2，… ，n)的单位运价为cij(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)， 试建立该运输问题的线性规划模型.
假设从产地Ai(i＝1，2，…，m)到销售地Bj(j＝1，2，… ，n)的运输量为xij.
4
我们可把运输量xij(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n) 汇总于产销平衡表7-1中，而把单位运价cij(i＝1，2，…，m ；j＝1，2，…，n)汇总于单位运价表7-2中.则在该产销平衡 表中，第j列的含义为：从各产地Ai(i＝1，2，…，m)发往销 售地j的部分运输量x1j，x2j，…，xmj的和应等于销量bj，第i 行的含义类同.
x33
15 25
x14 x24 x34 x44 2 0
(7.1.2)
12
过该公司的实际生产能力，xij应满足：
x11 x12 x13 x14 25
xx2324
x23 x44
x24
35 30
x44
10
(4.2.3)
13
下面构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用 表”.因第i月生产并用于第j月交货的引擎数的实际成本cij应该 是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其 “成本费用表”如表7-4所示.
形，此时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进
m
n
行讨论.例如当产量
a i 大于销量
b i 时，只需增加
i1
i 1
一个虚拟的销售地j＝n＋1，而该销售地的需要量为
m
n
ai bi
i1
i1
的情形类同.
n
即可.销量 b i i 1
m
大于产量 a i i1
9
2.应用实例 例1 生产时序的安排.
23
解：设甲、乙两种货物装运箱数分别为X1和X2，显 然X1和X2都要求为整数，最大利润为Z于是可建立整数规划 模型如下：
16
表 7-5
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(3)模型的建立与求解.
如上讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运
输问题模型”：
44
min z=
cij xij
i1 j1
4
c ij x ij a i
i1
4
s . t . c ij x ij b j
j1
x ij 0
(7.1.4)
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x11＝10， x12＝15， x23＝5， x33＝20， x34＝10， x44＝10
5
表 7-1
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表 7-2
7
由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输 问题的数学模型如下：
mn
min Z=
cij xij
i1 j1
m
xij b j
j 1, ij a i i 1, 2 ,L m
j1
xij 0
(7.1.1)
8
当然，在实际问题的应用中，常出现产销不平衡的情
第七讲 运筹学模型
➢7.1 线性规划模型 ➢(运输问题模型) ➢7.2 0—1型整数规划模型 ➢7.3 目标规划模型 ➢7.4 非线性规划问题
1
运筹学的分支较多，本章我们只介绍线性规划、整数规 划、目标规划及非线性规划等方面的内容，重点讲解运筹学 模型的分析和建立，模型的求解通常使用LINGO软件来完 成.
14
表 7-4
15
由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销售地D， 使之能构造为产销平衡模型，并把“产销平衡表和单位运价 表”合二为一(见表7-5).在表7-5中，ai表示公司第i月的生产能 力，bj表示第j月的合同供应量，cij表示相应的成本费用，因 在实际问题中，当i>j时，xij＝0，故令相应的cij＝M.
44
min z= cijxij 77.3 i1 j1
今后四个月引擎数量的生产安排如表7-6所示.
19
表 7-6
月份
1
2
3
4
引擎生产数量
25
5
30
10
20
7.2 0—1型整数规划模型
7.2.1整数规划的定义和模型 1.整数规划的定义 在求解线性规划问题时,得到的最优解可能是分数或小数,
但许多实际一要求得到的解为整数才行。这种要求线性规划 有整数解的问题，称为整数规划（Integer programming)或简 称IP。