三角形的边角关系在静力学中的应用

用。
题 ２ 求证 质 点 Ｄ在 三 个 等 值 且 互 成 １０ ２。
的共 点力 作用下 的合 力为零 。
１ 正 弦 定 理
题 １ 质 点 Ｄ在 三个 共点 力 的作用 于物 体下 处 于平 衡状 态 ，三力之 间 的夹 角如 图 １所示 ， 求 证 ：各 力 和 其 它 两 力 间 夹 角 之 正 弦 成 正 比 ， 即
如 图 ４所 示 的第 三 边 Ｂ 解 的三 种情 况 ；而 ＡＣ Ａ 绳上 的拉 力 则 一 直在 减小 。 结 论 当物体受 到三个 共 点力处 于 平衡状 态
结论 该 问题 与题 ３的问 题具 有 相 似性 ， 物
体受 到 三个 共 点力 处 于平 衡状 态 ， 而且 其 中一 个 力 的大 小 和方 向 皆不变 （ 经常 为重 力 ） 但 是不 同 ，
凡
力 Ｆ如 何 变化 ？
解析 由 题 设 条
件 可 知 ， 力 Ｇ 的大 小 和 方 向 皆不 变 ， 重 绳 Ｃ的 拉 力 方 向不 变 ， Ｃ绳 上 的拉 力 Ｆ的末 端 应 始
终 在与 ４Ｇ平 行 的直线 Ｇ 上 移 动 。
力 告 Ｇ在 减小 。
凡
由图 ５可 以看 出 ， Ｆ从 水平 方 向 开始 逆 时 当 针缓 慢转 动 时 ， Ｃ绳 上 的拉 力 先 减 小后 增 大 ， Ｂ 且当 Ｂ Ｃ与 ＡＣ垂 直 时 ， Ｆ有最 小值 ＝ ｓ ０ 即 Ｇｉ ， ｎ
缓 慢转 动 （ 图 ） 问在 如 ， 转 动 过 程 中 Ｃ 上 的
拉 力 和 Ｂ 上 的 拉 Ｃ
等 ＝ （中 Ｇ 值 向 ＝ 其 Ｇ 等 反 ） 与
图５
由于 在拉 动 过程 中 ， ｈ不变 ，绳长 在 减 Ｒ、 小， 而： 故 球 面 的支 持力 Ⅳ Ｇ大小 不变 ，绳 子 的拉 ＝
参考文献 ：
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物 理 教 学探 讨 ， （ １ （ ） ５ ． ２） ， ４ ： １ １
球 用 绕 过滑 轮 的绳子 被站 在地 面上 的人拉 住 。
人 拉动 绳 子 ， 在与 球 面相 切 的某 点缓 慢 运 动到 接
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和建 伟
上 海 市 西 郊 学 校 ， 海 长 宁 ２０ ３ 上 ０ ３５
摘 要 ： 角形 的 丰 富 的 边 角 关 系 ， 解 决静 力 学 物 理 知 识 不 可 或 缺 的 有 力 手 段 ， 文 拟 对 涉及 到 的 四 个 主 要 相 关 三 是 本
方 面进 行 总 结探 讨 。
即：
Ｆｔ Ｆ Ｆ ｓｎ ｉ ｙ ｓｎ ｉ ａ ｓ ｉ
成 ． 就为 三 角形 的余 弦 定 理 的应 用 提 供 了“ 这 用 武之 地 ” ，在 已知 两个 矢量 的夹 角 和大 小 的情况
下， 可很快 利用 其求 出 已知 角 的对边 大小 。
３ 三角 形第 三边 的解 的不确 定性
的是 ， ３中是 第 二个 力 的方 向不 变 ， 小改 变 ， 题 大
而该 题 中却 是 第二 个力 的大小 不变 ，方 向改 变 ， 第 三个 力大 小方 向都 变 。 通 过 上 面 的 探 讨 总结 ， 难 发 现 ， 物 理 模 不 将 型从 问题 中简化 、 象 出来 转化 为 数学 问题 进 行 抽 处理 ． 我们 利 用数 学： 具 处理 物 理 问题 的基 本 是 亡 思路 。 要求 我们 在平 时 的物理 教学 中要 注重 强 这 化物理含义 、 物理 问题 形 成 过 程 的 指 导 ， 调 物 强 理规 律 成立 的 条件 ， 使学 生 在扎 实 的物 理 基础 上
理也很 多 ， 以常常 会在 物 理 的静 力学 问题 中 出 所 现 ， 为 解决 静 力 学 。 成 尤其 是 ｉ 力 平 衡 问题 中的 有力工 具 。 题 ４ 如 图 ６所示 ，在半 径为 的光 滑半 球 面正 上方 距球 心 ｈ处悬 挂一 定 滑轮 ． 为 Ｇ的小 重
更好 地用 数学 知识 处理 物 理学 问题 。
近 顶点 的过程 中 ， 分析 半 球对 小 球 的支 持 力 Ⅳ 试 和绳 子拉力 Ｆ如何 变 化 。
（ 目编 辑 栏
罗琬 华 ）
的拉 力 Ｆ作用 下 ， 于 动态 平 衡 ， Ⅳ 和 Ｆ的合 处 则
力 必 与重力 Ｇ互 为平 衡力 。 解析 如 图 ６所 示 ，不 难 看 出 ，力 三 角 形 Ａ ＡＧ 与几 何 关 系 三角 形△ ０相 似 ．故 而 有 ： Ｆ
小恒定不变 ， Ｂ 而 Ｃ从
水 平 方 向开 始 逆 时 针
关 键 词 ： 力 学 ； 角形 ； 行 四 边 定 则 静 三 平
中 图分 类 号 ： ３ ． Ｇ６３７
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：０ ３ ６ ４ （Ｏ ２ ８ ｓ 一 ０６ ２ １０ — １８ ２ １ ）（ ） ０ ３ —
静 力学 的合成 与分 解符 合平 行 四边 形定 则 ， 这 就涉 及 到三 角形 的相 关 知识 ， 三角形 的边 与 而
恰 当 、 活 地应 用 数 学 知 识 解 决 物理 问题 ， 而 灵 从
时 ， 中一 个 力 的大 小 和 方 向皆 不 变 。 二 个 力 其 第 的方 向不 变 。 则第 三 个力 与 已知方 向不 知 大小 的
那 个力 垂 直 时有最 小值 。
４ 三角形 的相 似性
三 角形 的相 似 含有 丰 富 的边角 关 系 ． 判定 定
．
Ｃ
：
Ｌ Ｌ Ｉ： ’
ｓ ｏ ｓｇ ｓ ｙ ｉ ｔ ｉ３ ｉ ｎ ｒ ｎ
证 明 根据力 的平 行 四边 形 定则 ．记其 中两 个 力 的合 力 为 ， 角度 如 图 ３所 示 ， Ａ ＡＢ 其 在 Ｏ 中， 由余 弦定 理得
Ｏ ＝ Ａ ＋ Ｂ２ ２ Ｂ Ｏ Ｏ － ・ Ｂｃ ｓ ０ Ｏ ｏ６ 。
Ｖｏ ． ０ Ｎ Ｏ．４ １３ ４６
物 理 教
ｏ ｕｒ ｌ ｏ ｎａ ｆ
—
学 探
讨
第３ ０卷总 第 ４ ６期 ４
（ Ｓ）８２ １ ． ６ ．０ ２ ３
Ｐｈ ｓｃ Ｔ ｅ ｃ ｎ ｙ ｉｓ ａ ｈｉ ｇ
２ １ 第 ８期 （ ０ ２年 上半 月）
三 角形 的边 角 关 系在 静 力 学 中的应 用
角 则蕴 含着 丰 富而又成 熟 的定理 、 式 。 公 因此 ， 有
个 共点 力 的 矢量 三 角 形 ，并 找 出各 边 之 间 的角
度 ， 而应 用正 弦定 理求得 结果 。 明显 ， 进 很 由于正
弦定 理是 三角 形所 特有 的 ， 则该 原理 一般 只适 合 于处 理三 个共 点力 的平 衡 问题 ． 故而 很 多现行 高 中物 理教 材很少 阐述 。
结 论 本 题 的结论 正是 很 多物理参 考 书上 所 谓 的“ 拉米 原理 ” 最关 键 的是要 能 正确 的做 出三 。
第３ ０卷 总 第 ４ ６期 ４
物 理 教
学 探 讨
Ｖ ｏ ＿ Ｏ Ｎ Ｏ．４ ｌ３ ４ ６
２１ ０ ２年 第 ８ （ 期 上半 月 ） 在 解 三角 形时 如果 已 知 两 边 （ Ａ、 Ｂ） 及 Ｏ Ｏ 以 第 三 边 （ 知 边 ＡＢ） 对 未 的
ＦＩ Ｆ２
的方 向明显 与第 三个 作用 力 Ｆ共 线反 向 ， 故 Ｄ点 总的合 力为 Ｆ Ｆ Ｏ 得 证 。 －＝ ， 结论 矢 量 （ 包括 力 ） 的合 成遵守 平行 四边 形 定则 。 而平 行 四边形 则 是 由两个 全等 的三角 形构
中， 由正 弦定 理得
Ｆ
ｓ （ －ｔ ｓ （ － ） ｓ （－ ） ｉ Ｔ ｏ ｉ ｏ ／ ｉ ， ｙ ｎｒ ） ｎｒ３ ｎｎ ＇
确 定性 。该 边 的不 确 定性 ， 体 到物 理 的静 力 学 具
知 识 中 ， 是我 们 常见 的“ 力 动态平 衡 ” 就 三 问题 。
题 ３ 如 图 ５所 示 ，轻 绳 ＡＣ和 Ｂ Ｃ吊
一
图 ６
解 析 小球 在 重力 Ｇ， 面 的支持 力 ／， 子 球 ｖ绳
物体 Ｇ。 假设 Ｏ 角 大 Ｌ
Ｊ ｕｎ ｌｏ Ｐ ｙｉｓ ｅｃ ｉｇ ｏ ｒａ ｆ ｈ ｓ Ｔ ａｈｎ ｃ
（ ）８２ １ ． ７． Ｓ ．０ ２ ３
角 （ 中 ） 如 图 ４所 示 ，０ 图 ， 则第 三 边 可 能会 有 一 解 、
图４
Ｂ
两 解 、 解 三 种情 况 （ 中 的虚 线所 示 ）具 有 不 无 图 ，
２ 余弦 定理
必 要 总 结 出三 角 形 的 边 角关 系 与 物 理 学 的静 力
学 知 识 的 结合 点 ， 其 出其 共 性 ， 得 以帮 助 学 生 高 屋 建瓴 ， 用数 学 这个 工具 处理 其对 应 的物 理学 利
问题 ， 并借 此供 读 者及各 位 教师 同仁 教 学参 考之
即：
图 １ 图 ２
２ ２ ２ ２
证 明 物 体 在 三 力平 衡 时 ， 何两 个 力 的合 任
力是 第 ＿ 个 力的 平衡 力 ． 一 应用 力 的平行 四边 形 法
Ｆ鲁 ＝Ｆ ＋Ｆ 一 ２Ｆ・ ｏ ６ ｏ Ｆｃ ｓ ０ ＝Ｆ
。 ． ．
＝
Ｆ
则 ， 做 如 图 ２的 三力 合 成 图 ， 可 其各 角 的关 系 也 如 图所示 。在 △ 脶