离散数学复习(08)

在谓词推理中,必须注意的两点: 在谓词推理中,必须注意的两点: 不能在量词的作用域内使用等价式和蕴含式 在同一证明中,若既要使用存在指定,又要使用全称 在同一证明中,若既要使用存在指定, 指定,则先用存在指定,后用全称指定. 指定,则先用存在指定,后用全称指定.
谓词推理理论
P规则,T规则, US,UG,ES,EG 规则, 规则 规则, 规则 , , , 证明方法: 证明方法:直接证法 反证法 CP规则 规则 1,(x)(P(x) →Q(x)) (x)P(x) →(x)Q(x) , 2,( x)A(x) →(x)B(x) (x)(A(x) →B(x)) , 3,(x)P(x) →(x)(P(x)∨Q(x) →R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) , ∨ (x)(y)(R(x) ∧R(y)) 4,(x) (A(x)∨B(x)) (x)A(x)∨(x)B(x) , ∨ ∨ 5, ( x)(F(x) ∧S(x)) →(y)(M(y) →W(y)), , (y)(M(y) ∧ W(y)) (x)(F(x) → S(x)) 6,(x)(F(x)∧H(x)), (x)(G(x)→H(x)) , ∧ → (x)(G(x)→ F(x)) →
关系的的运算: 关系的的运算: 的运算
∩ ,∪ ,-(相对补),～ (绝对补 , ⊕(对称差 相对补) 绝对补), 对称差) 关系的复合,关系的逆,关系的闭包运算 关系的复合,关系的逆,
集合的划分与覆盖
划分可以确定一个等价关系 划分可以确定一个等价关系 覆盖可以确定一个相容关系 覆盖可以确定一个相容关系
数理逻辑:研究一种形式语言, 数理逻辑:研究一种形式语言,其本质是将 数学中的逻辑证明加以符号化 符号化, 数学中的逻辑证明加以符号化,因而推动各 数学分支的迅速发展. 数学分支的迅速发展.
Ch1命题逻辑 命题逻辑 命题:表示判断的具有确定真值的陈述句. 命题:表示判断的具有确定真值的陈述句. 命题只要能判断真假, 命题只要能判断真假,不一定已知真假 非陈述性语句不是命题 方程不是命题 悖论不是命题
函数
函数的概念 入射,满射,双射 入射,满射, 双射函数时逆函数才有意义 函数时逆函数才有意义. 逆函数 当f 是双射函数时逆函数才有意义.) 逆函数(当 注意写法与关系的复合不同. 复合函数 注意写法与关系的复合不同.) 复合函数(注意写法与关系的复合不同 求gof时,若ranf 不包含于 domg,则gof为空 o时 , o 为空 1,令gof是一个复合函数,则 是一个复合函数, , 是一个复合函数 (1)若g 和f 是满射的 则 gof 是满射的; 是满射的,则 是满射的; 若 (2)若g 和f 是入射的 则 gof 是入射的; 是入射的,则 是入射的; 若 (3)若g 和f 是双射的 则 gof 是双射的. 是双射的,则 是双射的. 若 2,令gof是复合函数,则 是复合函数, , 是复合函数 (1)若gof 是满射的 则g是满射的; 是满射的,则 是满射的 是满射的; 若 (2)若gof 是入射的 则f是入射的; 是入射的,则 是入射的 是入射的; 若 (3)若gof 是双射的 则g是满射的,f是入射的. 是双射的,则 是满射的 是入射的 是满射的, 是入射的. 若
推理理论
P规则 规则 T规则 规则 证明方法: 证明方法: 直接证法 反证法 CP规则 规则(CP规则可以连续使用 规则可以连续使用) 规则 规则可以连续使用 1, A ∨B →C ∧ D , D∨E → F A →F , ∨ 2, P∨Q, Q∨R, R →S P→S , ∨ ∨ → 3, P →(Q∨R) ,Q → P, S → R P → S , ∨ 4,A→(B→C),(C∧D) →E, F →(D∧ E) A→(B→F) , → → ∧ ∧ → →
等价关系与等价类及其性质
偏序关系,哈斯图,极大元,极小元,最大元, 偏序关系,哈斯图,极大元,极小元,最大元, 最小元,上界,下界,上确界, 最小元,上界,下界,上确界,下确界
序关系
1,设R是集合 上的一个自反关系.则R是对称和传递的,当 , 是集合X上的一个自反关系 是对称和传递的, 是集合 上的一个自反关系. 是对称和传递的 且仅当<a,b>∈R∧<a,c>∈R,有<b,c>在R之中. 且仅当 ∈ ∧ ∈ , 在 之中. 之中 2,若关系 和S在集合 上是等价的,证明 在集合X上是等价的 也是等价的. ,若关系R和 在集合 上是等价的,证明R∩S也是等价的. 也是等价的 3,如果关系 在集合 上是等价的,证明 c也是等价的. 如果关系R在集合 上是等价的, 如果关系 在集合X上是等价的 证明R 也是等价的. 4,设R是集合 上的等价关系,则对于所有 是集合A上的等价关系 , 是集合 上的等价关系,则对于所有a,b ∈A ,或者 [a]R=[b]R或者 R ∩[b]R= . 或者[a] 5,设集合A有一个划分 ,设集合 有一个划分S={S1,S2,…,Sm},试由此划分确定一 , 有一个划分 个等价关系. 个等价关系. 6,设S是X上的二元关系,S是传递的当且仅当 S S. 上的二元关系, 是传递的当且仅当 是传递的当且仅当S , 是 上的二元关系 . 7,设R是X上的二元关系,则: 上的二元关系, , 是 上的二元关系 a)R是对称的,当且仅当 是对称的, ) 是对称的 当且仅当R=Rc b)R是反对称的,当且仅当 ∩ R c Ix 是反对称的, ) 是反对称的 当且仅当R
Ch2谓词逻辑 谓词逻辑 原子命题拆成:客体 +谓词 原子命题拆成: 全称量词 翻译注意: 翻译注意: 特性谓词的位置:在全称量词的作用域内作条件 特性谓词的位置: 全称量词的作用域内作条件 的作用域内作 句的前件, 存在量词的作用域内作合取项. 的作用域内作合取项 句的前件,在存在量词的作用域内作合取项.
Ch5 代数系统
运算的性质 封闭性,交换性,结合性,分配律,吸收 运算的性质(封闭性,交换性,结合性,分配律, 封闭性 等幂律) 律,等幂律 特殊的元素 幺元,零元,逆元 特殊的元素(幺元 零元,逆元) 幺元, 广群,半群,独异点,群和子群 广群,半群,独异点, 阿贝尔群和循环群 证明方法举例: 证明方法举例: 是一个半群, 是一个有限集, 设<S,*>是一个半群,如果 是一个有限集,则必有 , 是一个半群 如果S是一个有限集 对于 ∈ 对于b∈S , b*b∈S,记b2=b*b ∈ , b2*b=b*b2∈S,记b3=b2*b=b*b2 …… , 由于S是有限集 是有限集, 由于 是有限集,所以必存在 j>i,使得 i=bj …… ,使得b
1,所有的人都犯错误. ,所有的人都犯错误. 2,有且仅有一个偶质数. ,有且仅有一个偶质数. 3,有些人对所有酒都感兴趣. ,有些人对所有酒都感兴趣. 4,所有的人都对某些酒感兴趣. ,所有的人都对某些酒感兴趣. 5,尽管有人可恶,但并不是所有的人都可恶. ,尽管有人可恶,但并不是所有的人都可恶. 6,对于任意实数,存在更大的实数. ,对于任意实数,存在更大的实数. 7,某些火车比所有飞机慢,但至少有一架飞机比所有火车快. ,某些火车比所有飞机慢,但至少有一架飞机比所有火车快. 8,并非所有的人都喜欢喝酒. ,并非所有的人都喜欢喝酒.
Ch3 集合与关系
定理 集合 和B相等的充分必要条件是这两个 集合A和 相等的充分必要条件是这两个 集合互为子集. 集合互为子集. 集合的运算 ∩ ,∪ ,-(相对补),～ (绝对 相对补) 对称差) 补), ⊕(对称差 , 运算的性质 序偶与笛卡儿积 1,若C≠ , 则 AB A×CB×C , × × 2,设A,B为两个集合,若A∩B≠ ,则 为两个集合, , 为两个集合 (A∩B)×(A∪B)(A×A)∪(B×B) × ∪ × ∪ × 3,证明 P(A)∩P(B)=P(A∩B) , 4,设A和B是论域 的子集,B=A A∪B=E ∧ , 和 是论域E的子集, ∪ 是论域 的子集 A∩B= ∩
联结词
否定
优先级: 优先级: 高 低
Hale Waihona Puke Baidu
析取: 合取 ∧ 析取: ∨ 条件 → 双条件
翻译提示: 翻译提示: 不可兼或: (P Q ) 不可兼或: 如果P,那么Q) 当 P则Q(如果 ,那么 : P →Q 则 如果 P仅当 Q(仅当 ,则P) : P →Q 仅当Q, 仅当 仅当 除非P否则 否则Q: 除非 否则 : P → Q 只要P,就有Q: P,就有 只要P,就有Q: P → Q 只有P,才能Q: P,才能 只有P,才能Q: Q → P 定义一般翻译为双条件 定义一般翻译为双条件
关系的性质
自反,对称,传递,反自反, 自反,对称,传递,反自反,反对称
关系性质的证明方法: 关系性质的证明方法:
要证明R在X上自反 要证明R 假设 假设x∈X ,证出 <x,x>∈R ∈ 要证明R在X上对称 要证明R x,y X,设 对x,y ∈X,设<x,y>∈R ,证出 < y, x >∈R ∈ ∈ 要证明R在X上传递 要证明R x,y,z∈X,设 对x,y,z∈X,设<x,y>∈R ∧< y, z >∈R ,证出 ∈ ∈ <x,z>∈R ∈ 要证明R在X上反自反 要证明R 假设 假设x∈X,证出 <x,x>R ) 要证明R在X上反对称 要证明R x,y 对x,y∈X,设<x,y>∈R∧< y, x >∈R ,证出 x=y ∈ ∧ ∈
证明a是 的逆元 的逆元? 证明 是b的逆元 a * b= b * a =e 例如: 例如:(a * b)-1=b-1 * a-1 群中满足消去律 群中不可能有零元. 群中不可能有零元. 任何一个循环群必定是阿贝尔群. 任何一个循环群必定是阿贝尔群. 中的幺元. 群<G,*>中的幺元 e 必定也是其子群<S,*>中的幺元. 中的幺元 必定也是其子群 中的幺元 子群的判定定理: 有限集: 在 子群的判定定理:当S是有限集: *在S上封闭 无限集: , ∈ , 当S是无限集: a,b∈S, 有a*b-1∈S 任何质数阶的群必定是循环群. 任何质数阶的群必定是循环群.
"",存在量词
""
量化断言与命题的关系
假设个体域D={a1, a2,…,an} 假设个体域 , (x) (P(x)) P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ( x)(P(x)) P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)
谓词演算的推理理论
消去, 消去,添加量词规则 全称指定 US 全称推广 UG 存在指定 ES 存在推广 EG
1,只有你主修计算机科学或者不是新生,才能从校园内 ,只有你主修计算机科学或者不是新生, 访问因特网. 访问因特网. 2,除非你已满 周岁,否则只要你身高不足 英尺就不 周岁, ,除非你已满16周岁 否则只要你身高不足4英尺就不 能乘公园滑行铁道. 能乘公园滑行铁道. 3,只要充分考虑一切论证,就能得到可靠见解. ,只要充分考虑一切论证,就能得到可靠见解. 4,只有充分考虑一切论证,才能得到可靠见解. ,只有充分考虑一切论证,才能得到可靠见解. 5,我们不能既唱歌又看书. ,我们不能既唱歌又看书. 6,如果天下雨,我出不出去看你是否同意而定. ,如果天下雨,我出不出去看你是否同意而定. 7,我唱歌,仅当你伴奏. ,我唱歌,仅当你伴奏. 8,或者你没有给我写信,或者信在路上丢失了. ,或者你没有给我写信,或者信在路上丢失了. 9,如果天下雨,我就在家看书,否则我就去看电影. ,如果天下雨,我就在家看书,否则我就去看电影. 10,只有你考试不及格或者缺考,才能参加补考. ,只有你考试不及格或者缺考,才能参加补考. 11,除非你缺考,否则只要你考试不满 分就必须参加 ,除非你缺考,否则只要你考试不满60分就必须参加 补考. 补考.