离散数学-1-8 推理理论

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间接证法（间接推理）
定义1-8.2 假设公式H1，H2，…，Hm中的 定义 命题变元P1，P2，…，Pn，对于P1，P2，…， Pn的一些真值指派，如果能使 H1∧H2∧…∧Hm的真值为Ｔ，则称公式H1， 公式 H2，…，Hm是相容的。如果对于P1，P2，…， 是相容的。 Pn的每一组真值指派，使H1∧H2∧…∧Hm 的真值均为Ｆ，则称公式H1，H2，…，Hm是 公式 不相容的。 不相容的。
CP
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间接证法（间接推理）
例
用CP规则证明： P→(Q→R)，¬T∨P，Q⇒T→R 证明： ⑴T P(附加前提) ⑵ ¬T∨P T P P ⑶P T⑴⑵ 析取三段论 ⑷ P→(Q→R) P ⑸ Q→R T⑶⑷ 假言推理 ⑹Q P ⑺R T⑸⑹ 假言推理 ⑻ T→R CP规则
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间接证法（间接推理）
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二、真值表法
作公式P→Q，Q→R，¬R，¬P的真值表
Ｈ1
P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 P→Q 1 1 1 1 0 0 1 1
Ｈ2
Q→R 1 1 0 1 1 1 0 1
Ｈ3
¬R 1 0 1 0 1 0 1 0
C
¬P 1 1 1 1 0 0 0 0
从表中可以看出:P→Q，Q→R，¬R都为 的行(赋值 从表中可以看出: → ， → ， 都为1的行 赋值000的行 ，¬P也为 。 的行)， 也为1。 都为 的行 赋值 的行 也为 的行(赋值 的行) (或¬P为0的行 赋值 为 的行 赋值100，101，110，111的行 P→Q，Q→R，¬R至少有 ， ， ， 的行 → ， → ， 至少有 一个为0） 一个为 ） 所以 (P→Q)∧(Q→R)∧¬R⇒¬P → ∧ → ∧ ⇒
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间接证法（间接推理）
例 试构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影； 小赵不去看电影或小张去看电影； 小王去看电影。 所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。 解：（１.将简单命题符号化) 将简单命题符号化) （ 小张去看电影。 设 P:小张去看电影。 小张去看电影 Q:小王去看电影。 小王去看电影。 小王去看电影 R:小李去看电影。 小李去看电影。 小李去看电影 S:小赵去看电影。 小赵去看电影。 小赵去看电影 找出前题与结论。 (2.找出前题与结论。) 找出前题与结论 前提： ∧ → ┐ ∨ 结论： → 前提：(P∧Q)→R,┐S∨P,Q ， 结论：S→R ）
＊这种间接推理方法称为归谬法
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间接证法（间接推理）
例题３ 例题３证明Ａ→Ｂ，¬(Ｂ∨C)可逻辑推出¬Ａ。
证明： (1)Ａ→Ｂ P (2)Ａ P(附加前提 附加前提） P(附加前提） (3)¬(Ｂ∨C) P (4)¬Ｂ∧¬C T(3) E –(E9德摩根律) 德摩根律) (5)B 假言推理) T(1),(2) I –(I11假言推理) (6)¬Ｂ 简化式) T(4) I –(I1简化式) (7)Ｂ∧¬Ｂ(矛盾） T(5),(6)I–(I1合取引入
段论) (5) ¬S→P T(4) E -(对(４)式T规则,根据E16蕴含等值式) (6)Ｐ→Ｒ P -(P规则，引入前提) 规则， (7) ¬S→R T(5),(6) I (对(5),(6)式Ｔ规则，根据I13 假言三段 规则， 论) (8)Ｓ∨Ｒ T(7) E -(对(7)式T规则,根据E16蕴含等值式)
规则) 规则)
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间接证法（间接推理）
CP规则 规则
间接证法的另一种情况：要证H1∧H2∧…∧Hn⇒(Ｒ→Ｃ)。 设S⇔H1∧H2∧…∧Hn，则上式可以简记为 S⇒(A→B) 由永真蕴含的定义有 1⇔S→(Ｒ→Ｃ)⇔¬S∨(¬Ｒ∨Ｃ) ⇔(¬S∨¬R)∨C⇔¬(S∧R)∨C ⇔(S∧R)→C ⇔ H1∧H2∧…∧Hn∧R→C 即 H1∧H2∧…∧Hn∧R⇒C 所 以 ， 要 证 明 H1∧H2∧…∧Hn ⇒(R→C)， 只 需 证 明 → ， H1∧H2∧…∧Hn∧R⇒C，其中 叫做附加前提 叫做附加前提。 ⇒ ，其中R叫做附加前提 *这种间接推理方法称为 规则。 这种间接推理方法称为CP规则 这种间接推理方法称为 规则。
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二、真值表法
由定义1-8.1可以看出，要证明C是一组前提H1，H2，…，Hn 的有效结 论，只需证明H1∧H2∧…∧Hn→C为重言式。而证明一个公式为重言 证明一个公式为重言 可以用真值表、等值演算、主析(合 取范式或已知的蕴含式 取范式或已知的蕴含式等方 式，可以用真值表、等值演算、主析 合)取范式或已知的蕴含式 法进行。用等价演算和主析(合)取范式证明重言式的方法前面已经讨 论过了，我们已经非常熟悉了。这里仅对真值表法作简单说明。 （1）真值表法 真值表法
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间接证法（间接推理）
例 构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜； 或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名； A队没有获得联赛的第一名； 小张守第一垒。 因此，小李没有向B队投球。 小张守第一垒。 解:设 P:小张守第一垒。 设 P:小张守第一垒 Q:小李向 队投球。 小李向B Q:小李向B队投球。 R:A队取胜 队取胜。 R:A队取胜。 S:A队获得联赛第一名 队获得联赛第一名。 S:A队获得联赛第一名。
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间接证法（间接推理）
将不相容的概念应用于命题公式的证明(归谬法 将不相容的概念应用于命题公式的证明 归谬法) 归谬法
要推出结论C 设有一组前提H 设有一组前提 1，H2，…，Hn ，要推出结论 ， ， 即要证 H1∧H2∧…∧Hn ⇒C ， 令 S⇔H1∧H2∧…∧Hn ⇔ 则上式可以简记为 S⇒C ⇒ 1⇔S→C⇔¬S∨C 由永真蕴含的定义有 ⇔ ⇔ ∨ 两边否定 0⇔S∧¬C⇔ H1∧H2∧…∧Hn∧¬C ⇔ ∧ ⇔ 即要证明C是前提 是前提H 即要证明 是前提 1，H2，…，Hn 的有效结论 ， 只 ， 的有效结论， H1∧H2∧…∧Hn∧¬C⇔0 须证明 ∧ ⇔ (即H1，H2，…，Hn 与¬ C不相容） 不相容） 即 不相容 ， ，
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间接证法（间接推理）
例题５ 例题５证明Ａ→(Ｂ→Ｃ)， ¬Ｄ∨Ａ,B重言蕴含Ｄ→Ｃ
证明：(1) D P (附加前提） (2) ¬Ｄ∨Ａ P (3) Ａ T(1)(2) I 析取三断论 (4)Ａ→(Ｂ→Ｃ) P (5)Ｂ→Ｃ 假言推理) T(3),(4) I –(I11假言推理) (6)Ｂ P (7)Ｃ 假言推理) T(5),(6)I –(I11假言推理) (8) D→Ｃ
设P1，P2，…，Pn出现于前提H1，H2，…，Hm 和结论C的 全部命题变元，假定对P1，P2，…，Pn作了全部的真值指 派，这样就能对应地确定H1，H2，…，Hn 和C的所有真值， 列出这个真值表，即可看出 H1∧H2∧…∧Hm⇒C 是 否成立
即找出H 均为１的行，对于每一个这样的行， 即找出 1，H2，…，Hm 均为 １的行， 对于每一个这样的行， 若 C也为１,则上式成立。或C为０， H1，H2，…，Hm 中起码有一 也为１ 则上式成立。 个为０ 个为０
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二、真值表法
例：分析事实：“如果我有时间，那么我就去上街；如
果我上街，那么我就去书店买书；但我没有去书店买书， 所以我没有时间。”。试指出这个推理前提和结论，并证 明结论是前提的有效结论。 解：令 Ｐ：我有时间。 Ｑ：我去上街。 Ｒ：我去书店买书。 根据题意，前提为：Ｐ→Ｑ，Ｑ→Ｒ，¬Ｒ 结论为：¬Ｐ 以下证明¬ 的有效结论。 以下证明 Ｐ 是一组前提Ｐ →Ｑ ,Ｑ→Ｒ ,¬Ｒ 的有效结论。 即证明： 即证明：(P→Q)∧(Q→R)∧¬R⇒¬P ∧ ∧ ⇒
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直接证法（直接推理）
证法2: (1)Ｐ→Ｒ (2)Ｐ∨Ｑ→R∨Ｑ (3) Ｑ→Ｓ (4)Ｑ∨R →S∨R (5)Ｐ∨Ｑ→S∨R (6)Ｐ∨Ｑ (7)Ｓ∨Ｒ P T(1) I P T(3) I T(2)(4) I P T(5),(6) I
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直接证法（直接推理）
用直接推理法证明(P→Q)∧(Q→R)∧P⇒R 证明： ⑴ P→Q P ⑵P P ⑶Q T⑴⑵ I 假言推理(I11) ⑷ Q→R P ⑸R T⑶⑷ I 假言推理(I ⑶⑷ 假言推理 11)
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三、命题逻辑的推理理论
当推理中包含的命题变元较多时，真值表 法或等值演算法，主析取范式法等方法的 演算量太大。给推理带来了困难。为此引 引 入命题逻辑的推理理论。命题逻辑的推理 入命题逻辑的推理理论 是一个描述推理过程的命题公式序列，其 中的每个命题公式或者是已知前提，或者 是由某些前提应用推理规则得到的结论(中 间结论或推理中的结论)。它有两种方法： 直接证法（直接推理） 间接证法 间接证法（ 直接证法（直接推理）和间接证法（间接 推理） 推理）。
第一章 命题逻辑
1-8 推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.lS@gmail.com
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在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前 提A1、A2、……An出发，能推导出什么结论。 数理逻辑的主要任务是用逻辑的方法研究数学中 推理是指从前提出发，应用推理规 的推理。所谓推理 推理 则推出结论的思维过程。任何一个推理都由前提 和结论两部分组成。前提就是推理所根据的已知 命题，结论则是从前提出发通过推理而得到的新 命题。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效 的或正确的
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直接证法（直接推理）
⑴ 直接证法（直接推理） 直接证法（直接推理） 基本思想是：由一组前提出发，利用一些公认的规则，根 基本思想 根 据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论。 据已知的等价式或蕴含式，推演得到有效结论 公认的推理规则有4 公认的推理规则有4条： P规则 规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。 规则 规则：推导中，如果一个或多个公式蕴含着公式S，则 T规则 公式S可以引入到以后的推理之中。 置换规则：在推导过程的任何步骤上，命题公式中的子 置换规则 公式都可以用与之等价的公式置换。(等价式表） 合取引入规则：任意两个命题公式A,B可以推出A∧B 合取引入规则 常用的蕴含式和等价式见P43表 常用的蕴含式和等价式见P43表1-8.3 表1-8.4
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一、有效推理
假设一些命题为Ｔ，并使用一些公认的规则，得 到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。 论证。 论证 定义1-8.1 设A和C是2个命题公式，当且仅当A→C 为一重言式，即A⇒C，则称C为A的有效结论。或 为 的有效结论。 C可由A逻辑的推出。A叫做 的前提 叫做C的前提 可由 逻辑的推出。 叫做 的前提。 上述定义可以推广到n个前提的情况： 上述定义可以推广到n个前提的情况： 设H1，H2，…，Hn,C是n+1个命题公式,当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn⇒C， 称C是一组前提 1，H2，…，Hn 的有效结论 是一组前提H 的有效结论。 是一组前提 *判断有效结论的过程就是论证过程 判断有效结论的过程就是论证过程，基本方法是 判断有效结论的过程就是论证过程 真值表法、直接证法、间接证法。
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间接证法（间接推百度文库）
故本题即要证明： (P∧Q)→R,┐S∨P,Q推出 →R 推出S→ ∧ → ┐ ∨ 推出 证明： (３.用CP规则证明) CP规则证明
(1) S P(附加前提引入 附加前提引入) 附加前提引入 (2) ┐S∨P P ∨ (3) P T(1)(2) I (析取三段论) 析取三段论) (4) (P∧Q)→R P ∧ (5)Q P (6)P∧Q T(3)(5) I (合取引入规则） 合取引入规则） ∧ (7)R T(4)(6) I (假言推理) 假言推理) (8) S→R CP
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直接证法（直接推理）
例题１：用直接推理法证明
(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ→Ｒ)∧ (Ｑ→Ｓ) ⇒Ｓ∨Ｒ 证法1: (1)Ｐ∨Ｑ P -(P规则，引入前提) 规则， (2) ¬Ｐ→Q T(1) E -(对(1)式T规则,根据E16蕴含等值式) (3)Ｑ→Ｓ P -(P规则，引入前提) 规则， (4) ¬Ｐ→Ｓ T(2),(3) I-(对(2),(3)式Ｔ规则，根据I13 假言三 规则，