第五章静定结构位移计算

整个结构的变形是结构各个微段变形的总和。根据叠加原理， 整体变形时在结构某点引起的总位移Δ可由每个微段变形在该 点引起的微小位移d Δ叠加得出，即
= d (M FN FQ 0 )ds l
如果结构中有多个杆件，则上式可写成
= (M FN FQ 0 )ds
如果结构除各微段有l变形外，在支座处还有给定位移 ，则位移 公式为
Structure displacement computing
基本要求：
领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确
定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘
法求位移。
线支温图结虚
弹
座 移
度 改
乘
构 位
功
性动变 移及
体产产法计虚 生生 算
FQC
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FQC
0.25/a
1
0.25
0.5
虚功方程为: FQC×1+qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0
FQC=1.25qa
(2) 应用虚功原理求静定结构的位移(虚力原理)
c b
Δ a
FP=1
a FR A FP b
建立虚功方程：FPΔ-FRAc=0
Ab
CD －4.42P －1.58 0.263l
Ab
DE
0
0.088l 0.75Ab
CE
0
0.278l Ag
AE 4.50P 1.50 0.278l 3Ag
EG 3.00P 1.50 0.222l 2Ag
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)·2
NNPl EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb
F sin
1 F sin 解得 F sin
2.局部变形时的位移公式
d ds d 0ds d ds ds
R
轴向应变
弯曲应变（曲率）
1 R
平均切应变 0
d Md FN d FQd (5 8a)
或 d (M FN FQ 0 ) ds (5 8b)
3. 结构位移计算的一般公式
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
态，状态2是满足变形连续条件
1
的位移状态T1，2 ＝≠状0态1的外力在状
态2的位移上作的外虚功等于状
态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和
即：T12= V1变2 证明
微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2ds dV1变2 =FN1ε2ds+FQ1γ2ds+M1κ2ds
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
( ) iP
FNFNEFANFPQk MFQGFA.QdPsMEMIFPQic.Kds
注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度；
FNP ,FQP , MP
2
FN P EA
k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2）FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，
是产生位移的原因；虚设单位荷载
N sin Q cos
N
M
I AR 2
1 12
h R
2
FP=1
3） M M Pds N NPds Q QPds 如 dsh=RR<d1θ10
PR 3 EI
EI
PR EA
EA
p 2sin2d PR
0
GA
GA
Q
p 2cos2dM
<
1 400
N
M
<1 1200
0
可见剪切变形和轴向变
Bm
B
3.刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对
于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
虚功原理的应用
1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）
（1）虚设位移求静定结构的未知力
X X FP P 0
A
FP
C
B
X
FP
b P a X
X
0
a X
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
广义力 单个力
广义位移 力作用点沿力作用方向上的线位移
单个力偶 等值反向共线的一对力
一对等值反向的力偶
力偶作用截面的转角
两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移Δ
两力偶作用截面的相对转角Δ
P
FP
A
mB
FP
mA
t
β
ΔA
t
ΔB
Δ
T=FPΔA+FPΔB =FP（ΔA+ΔB） =FPΔ A
T=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ
2
M1 ↓↓↓↓
FN1
ds
FQ1
M1+dM FN1+dFN
FQ1+dFQ
d2=κ2ds
V1变2 dV1变2 FN12ds F1Q2ds M12ds
T12=
FN1 2ds
FQ1 2ds
M
1
2
ds
T12
FN12ds
FQ1 2ds
M12ds ds
ε2ds
γ2ds
需首先虚拟力状态
C
1 3 CA
且
1 2l CA
当静定结构的支座有给定位移时，其位移可用虚
功原理求出。计算步骤：
（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单
位荷载引起的反力 FR。K
（2）令虚拟状态中的力的在实际的位移上作虚功，列
出虚功方程
1 FRK CK 0
（5-3）
（3）解出拟求位移 FRK CK
E
2a
Da
C 2a
B
A
a
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.5
FRC
0.75
0.75/a
δX=1
虚功方程为: FRC×1 +qa×0.75 －qa2×0.75/a －q×1.5×3a/2＝0
FRC=2.25qa
qa Fa
qa
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
E
2a
Da
C 2a
B
A
a
qa2
互的的及的功
等位位 一原
定
移 计
移 计
举
般 公
理
理算算例式理
§5·1 结构位移计算概述
a）验算结构的刚度；
1、计算位移目的：
b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。举例
a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t
l
+t
β
种原因、不同的变形类型。
3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
FN , FQ , M
虚拟力状态 2
FP=1
FR1
5. 结构位移计算的一般步骤
已知结构各微段的应变κ、ε 和 0支座位移 C，K 拟求结构
某点沿某方向的位移Δ，其计算步骤如下： （1）在某点沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载。
EI C
1
EI
EI
EI
Mi M k dx
Mk
ω
Mi是直线
1
EI
B
A Mk
xtgdx
1 EI
tg
B
A xMkdx
x
dx
x0
1 EI
tg×w
x0
1 EI
wy0
y α
Mi y0
注：
MM P EI
dx
w y0
EI
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
引起的内力是 FN , FQ, M
2
kFQ P GA
2
MP EI
真实 位移 状态
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。
（4）梁和刚架 Δ= MMP ds EI
（5）桁架 Δ=
FNN P EA
ds
=
NN P EA
l
（6）桁梁混合结构
Δ=
MM P EI
ds
FNP EA
l
用于桁架杆
X
FP
b a
0,
X
FP
b a
ΔX1
b
ΔδPP
δX =1，δP=b/a
X 1 FP P 0,
X
FP
FP
b a
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可
以随意虚设，如设δX=1。
3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
在欲求位移处沿所求位移方向加
上相应的广义单位力FP=1.
FP1
1 KH FRCi (FN12 FQ12 M12)ds
( )
FN 2
FQ 2
M
2
ds
Fi R ic
t1
FP2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
位移状态 1 (实)
c1
该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各
M , FQ , FN d 2 w
, ,
dx2
不产生内力，产
Δ
生变形产生位移 / l
位移是几何量，自然可用几何法来求，
不产生内力和变 形产生刚体移动
但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。
计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形。即：线弹 性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。
p PR3 p PR p PR
4 EI 4 EA 4 GA
M
N
Q
形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.
例：求图示等截面梁B端转角。
解：1）虚拟单位荷载
FP
2）MP须分段写 MP（x1）=FPx/2
A
EI
x1 x2
B
0≤x1≤l/2
（5-4）
§ 5-2结构位移计算的一般公式
1.局部变形时静定结构的位移计算举例
解：（1）实际的位移状态 a图改用b图表示， b图 中是刚体位移。
（2）虚设力状态如C图， 为保证刚体体系的平衡， 在铰B处还有必须加一对 弯距
M 1a
(3）令平衡力系在实际 位移上作功，列出虚功方程
1M 0
M
例5-2 在图a中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴 成α角的斜向位移分量Δ。
P
C
P
D
2)求N 继续
P/2
F
P/2
A
4.5P
3.0P
B
3)求NP 继续
0.287l E 0.222l
G
0.25l
0.25l
2P
2P
l/12 l/12
1
2)求 N
C
3)求NP 继续 4)求ΔC
D
00
F
C
NNPl A
1.50
EA
1/2
E
1.50
G
B 1/2
材料 钢筋 混凝土
钢筋
杆件 NP
N
l
A
AD －4.74P －1.58 0.263l
（2）在单位荷载作用下，求出结构的内力 M、FQ、FN 和支座反力 FPK。
（3）根据公式（6-10）可求位移Δ。
6. 广义位移的计算
拟求位移Δ应理解为广义位移。它可以表示结构某点沿某 方向的线位移、某截面的转角、某两个截面的相对位移等。因 此，必须根据广义位移性质虚设广义单位荷载。
A B
§5-3荷载作用下的位移计算
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响；用于梁式杆
对扁平拱需考虑轴向变形。 Δ=
MM EI
P
ds
+
NN P EA
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例：图示屋架 的压杆采用钢 筋混凝土杆， 拉杆采用钢杆。 求C的竖向位 移。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
解：1)将q
柱
P
化为结点荷 载P=ql/4
l/2
l/2
MP（x2）=FP（l－x）/2
M
(
x
)
x l
l/2 ≤x2≤l 0≤x≤l
m=1
B
l
M
0
M P ds EI
l 2
x
FP xdx
l
x
FP
(l
x)
dx
Pl 2
0 l 2EI
l 2
l
2EI
16EI
积分常可用图形相乘来代替
§5-5 图乘法 位移计算举例
MiMk ds
直杆
MiMk dx
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。
2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。
3）建立虚功方程，求未知力。
qa
Fa qa
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
至少ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
l/2
h 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
= (M FN FQ 0 )ds FRKCK (5 10) l
该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。
4. 变形体系的虚功原理:
状态 1 是满足平衡条件的力状
0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
钢筋混凝土结构G≈0.4FEP
解例：：1求）图虚示拟1单/4圆位弧荷曲载杆顶点的竖向位移矩Δ形。截面,kd=s1.2,I/A=h2/12
2）实际荷载
M P FPRsin
虚拟荷载
M Rsin
Q
M
GEAIRd2θ
1 4
θ
h R
2
FNP Psin QP Pcos
FP
FP
a b
c
0
ac b
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以
随意虚设，如设FP=1。故称单位荷载法。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。
（3）支座移动时静定结构的位移计算
1 C
1 3
CA
0
1
1 2l
CA
0
解方程得