离散数学几种特殊的图

14
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
。C
。
。
A
。
B
D
由于有了欧拉回路和欧拉通路的判别准则，因 此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案， 因为从上图中可以看到 deg(A)=5,deg(B)=deg(C)=deg(D)=3,故欧拉回路 必不存在。
15
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
欧拉通路和欧拉回路的概念，可以推广到有向图 中去。 定义8.2.2 给定有向图G,通过图中每边一次且仅 一次的一条单向通路(回路),称作单向欧拉通路(回 路)。 定理 8.2.2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当 且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。一 个有向图G具有单向欧拉通路，当且仅当它是连通 的，而且除两个结点之外，每个结点的入度等于 出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度 大1，另一个结点的入度比出度小1。
若G是二部图，也可将G记为G=<V1,V2,E>。 又若V1中任一顶点与V2中任一顶点均有且仅有 一条边相关联，则称二部图G为完全二部图。若 |V1|=r,|V2|=s,则记完全二部图为Kr,s
6
8.1 二部图
K2,3
K3,3
注: 在完全二部图Kr,s中，它的顶点数n=r+s， 它的边数m=rs.
V={a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4}为顶点集， 若ai熟悉bj,就在ai和bj之间连边，得边集E,构成无 向图G=<V,E>,如下图所示。
4
8.1 二部图
由图显而易见，
a1
a2
百度文库
a3
a4
分配a1去完成b1,a2去完成
B2,a3去完成b4，a4去完成
B3就能满足要求。
在此图中，a1,a2,a3,a4彼此
13
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
(2)若L1通过了G的所有边，则L1就是欧拉通路。 (3)若G中去掉L1后得到子图G’,则G’中每个结点度
数为偶数，因为原来的图是连通的，故L1与G’ 至少有一个结点vi重合，在G’中由vi出发重复(1) 的方法，得到闭迹L2. (4)当L1与L2组合在一起，如果恰是G,即得欧拉通 路，否则重复(3)可得到闭迹L3,依此类推直到 得到一条经过图G中所有边的欧拉通路。
18
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
定义8.2.3 给定图G,若存在一条通路经过图中的 每个结点恰好一次，这条通路称作哈密尔顿路。 若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次， 这条回路称作哈密尔顿回路。 具有哈密尔顿回路的图称作哈密尔顿图。 与欧拉图的情况不同，直到目前，人们还没有找 到哈密尔顿图的简单的充要条件，寻找充要条件 是图论中的一个难题。目前人们只找到一些判断 存在性的充分条件和一些必要条件，下面以无向 图为例加以说明。
充分性 若图G连通，有零个或两个奇数度结点， 我们构造一条欧拉通路如下：
(1)若有两个奇数度结点，则从其中的一个结点 考试构造一条迹，即从v0出发经关联边e1“进 入”v1,若deg(v1)为偶数，则可由v1再经关联边e2 进入v2,如此进行下去，每边仅取一次。由于G是 连通的，故必可到达另一奇数度结点停下，得到 一条迹L: v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekvk.若G中没有奇 数度结点则从任一结点v0出发，用上述方法必可回 到结点v0,得到上述一条闭迹L1.
对任意一个不是端点（始点和终点）的结点vi,在欧拉 通路中每当vi出现一次，必关联两条边，故vi虽可重复出现， 但deg(vi)必是偶数。对于端点，若v0=vk,则d(v0)为偶数， 即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同，则d(v0)为奇数， d(vk)为奇数，G中就有两个奇数度结点。
12
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
定理8.1.1 一个无向图G=<V,E>是二部图当且仅 当G中无奇数长度的回路。
7
注意，n阶零图为二部图。 如图所示各图都是二部图，其中，(1)，(2)，(3)为K6的子图
，(3)为完全二部图K3,3，常将K3,3画成与其同构的(5)的形式， K3,3是下文中经常遇到的图。(4)是K5的子图，它是完全二部图 K2,3，K2,3常画成(6)的形式。
8
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
引例：哥尼斯堡七桥问题 如何不重复地走完七桥后回到起点？
。C
。
。
A
。
B
D
9
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
一、欧拉图 定义8.2.1 给定无孤立结点图G=<V,E>，若存在 一条通路，经过图中每条边一次且仅一次，该通 路称作欧拉通路；若G中欧拉通路又是回路，则称 它为G中的欧拉回路；具有欧拉回路的图称为欧拉 图。 注意：只有欧拉通路无欧拉回路的图不是欧拉图。
不相邻， b1,b2,b3,b4也彼此 b1 b2
b3
b4
不相邻。像这样的图，称它为二部图。
5
8.1 二部图
定义8.1.1 若能将无向图的顶点集V分成两个子集 V1和V2(V1V2=),使得G中任何一条边的两个端 点都一个属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图 （或称偶图、双图、二分图），V1,V2称为互补顶 点子集.
几种特殊的图
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡城（现在俄罗斯）在18世纪属东普鲁士， 它位于普雷格尔（Pregel）河畔，河中有两个岛， 通过七座桥彼此相联，如下图：
。C
。
。
A
。
B
D
2
内容提要
8.1 二部图 8.2 欧拉图与哈密尔顿图 8.3 平面图
3
8.1 二部图
引例：今有4个工人a1,a2,a3,a4,4项任务 b1,b2,b3,b4。已知工人a1熟悉任务b1,b2,b3,a2熟 悉b2,b3,a3只熟悉b4,a4熟悉b3和b4。问如何分配 工人，才能使每人都有任务，且每项任务都有人 来完成？其实，只要以
10
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
(a)无欧拉通路
(b)无欧拉回路
(c)是欧拉图
11
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
定理8.2.1 无向图G具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通 的，且有零个或两个奇数度结点。 证明 必要性 设G具有欧拉通路，即有点边序列 v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekvk,其中结点可能重复出现，但边不 重复，因为欧拉通路经过所有图G的结点，故图G是连通的。
16
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
二、哈密尔顿图 1859年爱尔兰数学家威廉.哈密顿首先提出在正十 二面体上的一个数学游戏，即能否在如下所示的 图中找到一条基本(初级)回路(或路径)，使它经过 每个顶点恰好一次。
17
8.2 欧拉图与哈密尔顿图
由于他将每个顶点看作一个城市，将两个顶点 之间的边看作交通线，于是他提出的问题称为“周 游世界问题”。对于任何一个连通图，都可以提出 这样的问题，即在图中是否存在经过所有顶点一次 且仅一次的回路或通路。将这样的初级通路、回路 分别称为哈密尔顿通路、回路。