二元函数的极限与连续

第6章多元微分学

教学目的：

1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。

9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1．二元函数的极限与连续性；

2．函数的偏导数和全微分；

3．方向导数与梯度的概念及其计算；

4．多元复合函数偏导数；

5．隐函数的偏导数

6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7．多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：

1．二元函数的极限与连续性的概念；

2．全微分形式的不变性；

3．复合函数偏导数的求法；

4．隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

5．拉格郎日乘数法；

6．多元函数的最大值和最小值。

6.1 二元函数的极限与连续6．1．1 区域

1．平面点集

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P

与有序二元实数组),(y x 之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组

),(y x 与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组),(y x 的全体, 即{}R y x y x R R R ∈=⨯=,),(2就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质B 的点的集合, 称为平面点集, 记作：

{}

B y x y x E 具有性质),(),(=。

例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 {}

222),(r y x y x C <+=

如果我们以点P 表示),(y x ，以OP 表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 {}

r OP P C <= .

2．邻域

设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点),(000y x P 距离小于

δ的点),(y x P 的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为),(0δP U , 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义：),(0δP U 表示xoy 平面上以点),(000y x P 为中心、δ >0为半径的圆的内部的点),(y x P 的全体.

点0P 的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U

， 即 ：}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U

. 注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用)(0P U 表示点0P 的某个邻域, 点0P 的去心邻域记作)(0P U

.

3．点与点集之间的关系

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(1)内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;

(2)外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;

(3)边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边界点.

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .

聚点：如果对于任意给定的0>δ, 点P 的去心邻域),(δP U

内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E 。 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1

满足1

E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.

4．区域

开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集. 开集的例子: E ={(x , y )|1

集合{(x , y )|1

连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都

属于E,则称E为连通集.

区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|1x2+y2 2}.

闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x, y)|1≤x2+y2≤2}.

有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得E⊂U(O,r),

其中O是坐标原点,则称E为有界点集.

无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.

例如,集合{(x,y)|1≤x2+y22}是有界闭区域;集合{(x,y)| x+y>1}是无界开区域;

集合{(x,y)| x+y≥1}是无界闭区域.

*5. n维空间

设n为取定的一个自然数,我们用n R表示n元有序数组(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)的全体所构成的集合,即

R n=R⨯R⨯⋅⋅⋅⨯R={(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)| x i∈R,i=1, 2,⋅⋅⋅,n}.

R n中的元素(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n).当所有的x i(i=1, 2,⋅⋅⋅,n)都为零时,称这样的元素为R n中的零元,记为0或O .在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而R n中的元素x=(x1,x2,⋅⋅⋅,x n)也称为R n中的一个点或一个n维向量,x i称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,R n 中的零元0称为R n中的坐标原点或n维零向量.

为了在集合R n中的元素之间建立联系,在R n中定义线性运算如下: