法向加速度和轨迹曲率中心的运动

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[ 5] 菲 赫金哥尔 茨 . 微 积分学 教程 ( 叶彦谦 等译 ) , 第 1 卷 第 2 分 册. 北 京: 人 民 教 育 出 版 社, 1959. 585.
工科物理 1997 年第 2 期
圆柱体在可动斜面上滚动的分析
侯如松 ( 安阳师范专科学校 , 河南安阳 455000)
( 收稿日期 : 1997— 05— 29)
摘 要 圆柱体在可动斜面上的滚动是一个综合性较强的问题 , 它涉及到力学中许 多基本问题 . 本文用四种典型的方法对它进行了分析讨论, 其中 , 有的方法对惯性力 的应用进行了拓展 , 如将它引申到动能定理和动量定理中 . 许多力学教科书中都把圆柱体沿固定斜 面的滚动做为滚动的典型例题讲解. 而如果 斜面变为可动的, 问题将变得复杂起来, 也变 得更加有趣 . 这时, 不仅涉及到刚体的滚动 , 而且涉及到力学中许多基本问题 , 如牛顿第 二定律、 动量、 机械能和相对运动等. 对这个 问题进行深入分析讨论 , 能把力学中许多问 题有机地联系在一起 , 不仅有利于提高学生 分析问题解决问题的能力, 而且能提高学生 的学习兴趣 . 本文用几种不同的方法对圆柱 体沿可动斜面的滚动问题进行分析讨论, 在 有的解法中引入了惯性力. 在引入惯性力之 后 , 在非惯性系中牛顿第二定律仍然成立. 自 然 , 与牛顿第二定律相关联的一些定理、 定律 也成立 , 例如动能定理和动量定理. 只要满足 一定的条件, 动量守恒定律、 机械能守恒定律 也成立. 所以在下边的一些解法中将惯性力 的运动范围进行了拓展 , 将其引申到动能定 理、 动量定理中去 . 题目: 如图 1 所示, 有一质量为 M 的楔 块放在光滑水平面上 , 其斜面与水平面夹角 为 ; 半径为 R 质量为 m 的匀质圆柱体沿斜 面向下作纯滚动 . 试求: ( 1) 圆柱的质心 C 相 对 斜面的加速度 a′ c ; ( 2) 圆柱质心 相对桌面 的加速度 a c ; ( 3) 楔块相对桌面的加速度 a1 ; ( 4) 圆柱与斜面间的正压力 N ; ( 5) 圆柱与斜
2 c
( 4)
( 5) ( 6)
为加速度与速度的夹角, 在质点所在的轨迹 处作一曲率圆, 该圆位于轨迹的凹侧, 圆心为曲 率中心, 从曲率中心 O ′ 到质点作一矢径 R, 其 大小 R 称为曲率半径, 设曲率中心的位矢是 c, 质点对于固定坐标系的位矢是 r , 则有: r= R+ c ( 2)
由图一可见 , a 与 R 的数量积为 : a R = - aR sin = - an R 由 ( 5) 和 ( 6) 式, 可得: an = u - u v R
5] 面曲线的渐屈线[ 4、 .
记曲率中心的速度为v c = ( ∥, ⊥) , 由上述关 于曲率中心运动轨迹的讨论可知 , 曲率中心 的速度沿螺旋线轴线的分量与电子速度的相 应分量相同,
∥
参 考 文 献
= u∥
( 33)
[ 1] 马 文蔚等 . 物理 学 , 上册 . 北京 : 高等教 育出版 社 , 1993. [ 2] 数学手册编写组 . 数学手册 . 北京 : 人民教育出 版社 , 1979. 408. [ 3] 数学手册编写组 . 数学手册 . 北京 : 人民教育出 版社 , 1979. 414, 415. [ 4] 斯米尔 诺夫 . 高 等数 学教 程 ( 孙念 增译 ) , 第 2 卷 第 2 分 册. 北 京: 人 民 教 育 出 版 社, 1959. 347.
[ 1]
u、 v k和v c分别为质点相对于固定坐标系、 相对 于曲率中心的速度以及曲率中心相对于固定 坐标系的速度. 根据曲率半径的定义 , 质点速 度 u 与曲率半径矢量 R 相互垂直, 即: u R = u ( r - c) = 0 将 ( 4) 式两端对时间求导数 , 可得 : d( u R) du d( r - c) = R+ u dt dt dt = a R + u ( u - v c) ≡ 0 即 a R= - u + u v
( 25) ( 26)
这是曲率中心运动的一重要特征. ( 17) 式也 可描述为 : 曲线上某一点处的切线方向总是 垂直于相应的曲率中心曲线的切线方向. 由 ( 2) 式可写出空间曲线的曲率中心的 位矢方程 c : c= r- R 式中的 R 可表示为: R = - R an / an ( 18) ( 19)
而曲率中心速度沿螺旋线轴垂直方向的分量 与电子速度的相应分量方向相反 , 又考虑到 ( 29) 式 , 可知 : v ⊥= R = ″
பைடு நூலகம்
R′ u∥ / u ⊥
2 R′ u2 ∥ / u⊥ )
2
2
( 34) ( 37)
即曲率中心的速度可表示为 : v c = ( u ∥, 用 ( 30) 式消去 u ⊥ , 可见 ( 32) 和 ( 35) 两式给出 的 u 和 v c 满足 ( 17) 式, 即电子的速度 u 与相
( 23)
d( u/ u ) d s d s dt ( 12)
上式给出的曲率中心位矢方程中出现了 u 和 a, 它们的作用是提供一种确定 R 矢量方向 的方式, 而曲率中心位矢方程 c 完全是由质 点的轨迹所确定的, 与质点沿轨迹运动状态 无关, 这一点在曲率的定义中可见. 下面具体讨论质点沿圆柱螺旋线运动的 一个例子. 设电子以速度 u0 进入均匀磁场 B, u0 与 ( 13) B 的夹角为 , ≠ 0, 此时电子将沿着与 B 线 平行的轴作螺旋线运动 , 运动速度 u 可分解 为相互垂直的两个分量 u ∥ 和 u ⊥, u∥ 分量与 磁场方向平行 , 运动过程中其大小和方向均 不改变 , 为匀速直 线分运动; u⊥ 分量与磁场 方向垂直 , 电子在洛仑兹力的作用下使该速 度分量不断改变方向, 为匀速率圆周分运动, 两个分运动叠加后为沿圆柱螺旋线运动. 关于分速度 u ⊥的匀速率平面圆周运动, 法向加速度由洛仑兹力决定 : a n = qu⊥ B / m ( 24) 式中的 q 和 m 分别为电子的电量和质量, 法 向加速度的方向沿着 u 与 B 所在的平面的 法向 . 记该分运动轨迹的曲率半径为 R ′ ,由 曲率半径的公式可得: R′ = u2 ⊥ / an 由上述两式可导出: R′ = u⊥ m / qB 公式应表示为:
2 R = ( u2 ⊥ + u∥ ) / an
d( u/ u ) = u ds
记 d( u/ u) = d( u/ u) n, 单位矢量 n 指向速 度单位矢量的增量方向 , 故 n 与速度方向垂 直 , 也就是法向加速度的方向, 于是( 12) 式变 为: an = u 2 d( u/ u) n ds
而对于合成运动轨迹来说 , 曲率半径的 ( 27)
根 据 ( 24) 式, 法向加速度 an 与速度的 u ∥ 分 量无关 , 所以上式给出的 R 将随着 u2 ∥ 而线性 增加 , 只要速度的 u ∥分量不为零, 上述的分 运动轨迹的曲率半径 R ′ 和合成运动轨迹的 曲率半径 R 是不等值的.
2 c
( 7)
上面我们从法向加速度与速度的投影关 系导出了该加速度 a n 与质点速度 u、 曲率半 径 R 和曲率中心速度 v c的关系 , 这个结果与 大家熟知的法向加速度公式 : an = u / R
2
其关系如图一所示 , 将 ( 2) 式两端对时间求导
( 8)
的差别在于分子上多了一项“ u・ v c” . 若能证 明 ( 8) 式对空间曲线运动也成立的话 , 那自然 就证明了 u・v c= 0. 下面就作这个证明 . 记质点速度为: u = u ( u/ u) 位矢量 , 则质点的加速度为 :
图一
( 9)
u 是速度的大小 , u/ u 为表示速度方向 的单 a = d u = du ( u/ u ) dt dt
c
数 , 可得 : u = v k+ v ( 3)
= ( u/ u)
du d( u/ u ) + u dt dt
( 10)
2 上式右端第一项是切向加速度 , 第二项为法 向加速度 a n, 即 d( u/ u ) ( 11) dt 引入质点运动轨迹弧段微分 ds , 对上式作变 an = u 量替换 , an = u
2
工科物理 1997 年第 2 期 即 c = r + R a n/ an 由 an = a - u( u a ) / u
2 2
( 20) ( 21) ( 22)
2 1/ 2
和 an = [ a - ( d u/ d t) ] 两式, 可得: c= r+ R
a - u( u a) / u 2 [ a 2 - ( du / d t) 2 ] 1/ 2
上 式中的 d( u/ u ) / ds 为轨迹曲线的曲率 , 通常记为 k , 曲率反映了曲线的弯曲程度, 曲 率的定义[ 2] 为: 空间曲线上一小段弧两端的 切 向单位矢量的增量的模 d( u/ u ) 与该段 弧的长度 d s 之比, 即: k = d( u/ u ) / d s ( 14)
工科物理 1997 年第 2 期 由 ( 2) 式可知, 随着电子的运动, 曲率半 径 R 两端将分别划出电子的运动轨迹和曲 率中心的轨迹 , 而对于圆柱螺旋线来说, 曲率 半径 R 始终是与圆柱表面垂直的, 即曲率半 径 R 总是要通过圆柱的轴线 , 于是可知曲率 中心的轨迹是与 电子轨迹共轴的圆柱 螺旋 线 , 该圆柱的半径 R ″ 应当是电子实际运动轨 迹曲率半径 R 与电子运动轨迹所在的圆柱 面的半径 R ′ 的差值 , 即 R″ = R - R′ ( 28) R″ 与电子轨迹所在圆柱面半径 R ′ 的比值可 由 ( 26) 、 ( 27) 和( 28) 三式得出
上式中曲线切向的单位矢量是用质点的速度 u 表示的. 曲率的半径 R 与曲率的关系为: R = 1/ k ( 15) 将 ( 15) 式代入 ( 13) 式便可导出( 8) 式 , 这就证 实 了 ( 7) 式中的“ u・v ” c 项恒等于零. 对于平 面圆周运动, 轨道中心是固定的 , 而且它就是 曲率中心, 故有 v c= 0 着 u 与v c 是相互垂直的, 即: u v c= 0 ( 16) 而一般情况下, u 和 v c 都不等于零 , 这就意味 ( 17)
2 R″ R - R ′ u∥ = = 2 R′ R′ u⊥
3 应的曲率中心的速度v c 相互垂直. 上述结论也可由 ( 23) 式直接导出. 在本 例的条件下 , R , a , u 的大小不变, 且 u 与 a 垂 直 , 故曲率中心的位置方程由( 23) 式简化为: c= r+ R a a 将上式两端对时间求导数, 得到 : v c= u + R 将上式两端点积 u, 得到 : u da / dt ( 38) a 考虑到电子的加速度 a 与速度 u 垂直 , 得到: u v c= u u + R u d a d( u a ) du = a dt dt dt du = a = - a 2 = - a2 n ( 39) dt
工科物理 1997 年第 2 期
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教学与教材 法向加速度和轨迹曲率中心的运动 研 究
徐劳立 ( 北京工业大学计算机学院 , 北京 100044)
( 收稿日期 : 1997-04-12)
摘 要 讨论了空间曲线运动的法向加速度公式、 曲率中心轨迹和有关的性质, 具体 给出了圆柱螺旋线运动的曲率中心轨迹. 目前的工科物理的教材中 , 法向加速度 公式通常在平面圆周运动的情况下给出 , 而该公式的应用也出现在其它空间曲线运动 ( 如抛体运动和螺旋线运动) 的习题中. 本文 对空间曲线运动的法向加速度和轨迹曲率中 心作一些讨论 . 加速度 a 的法向分量 an 与速度 u 垂直 , 沿质点运动轨迹所在的平面指向质点运动轨 迹凹向 , 其大小为 : an = asin ( 1)
则 : u v c = u u - Ra n = 0
( 40)
从而较简洁地在这个实例中验证了( 17) 式 . 最后应指出, ( 23) 式给出的曲率中心位 置方程, 在数学的微分几何中称为渐屈线方 程 [ 3] , 而质点运动轨迹为相应的渐伸线 ; ( 17) 式给出的质点运动方向总是与曲率中心运动 方向相互垂直这一特性 , 反映的正是渐屈线 和渐伸线的所具有的性质[ 3] . 本文给出了用 物理观点讨论空间曲线问题的一种方法, 由 此方便地给出了空间曲线的渐屈方程, 并在 特定的物理条件下, 对质点的空间运动轨迹、 曲率中心的轨迹和它们所具有的性质作了形 象的讨论, 而在微积分教材中, 一般仅讨论平
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( 36)
d a/ dt a
( 37)
( 29)
当 u ∥ 小于 u ⊥ 时, 曲率中心轨迹所在的圆柱 面位于 电子轨迹圆柱 面的内部 , 当 u∥ 大 于 u ⊥时 , 曲率中心轨迹圆柱面在电子轨迹圆柱 面的外部, 当 u∥ 等于 u ⊥ 时, 曲率中心轨迹与 电子轨迹位于同一圆柱面上 . 现讨论 u 与 v c 的方向关系 . 记 电子速度 为 u= ( u ∥, u ⊥) , 其中 : u ⊥= ( 26) 式和( 30) 式即可知 : = qB / m 故电子速度可表示为: u = ( u∥ , R ′ ) ( 31) ( 32) R′ ( 30) 为电 子 平面 圆周 分运 动的 角 速度 , 对 照