刚体转动惯量计算方法

1 m1l 2 1 m1l 2 1 m1l 2
2 12
4
3
J 2O J 2C m2 (l R) 2 1 m2 R 2 m2 (l R) 2 m2 ( 3 R 2 2Rl l 2 )
2
2
J O 1 m1l 2 m2 ( 3 R 2 2 Rl l 2 )
3
2
例 18-4 如图 18-12 所示均质等厚度板，单位面积的质量为
二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆
形状不规则物体的转动
M
dm
dx
如图 18-7 所示，设杆长为 l ，质量为 M。取杆上微段 dx，其质量为
l ，则此
杆对 zc 轴的转动惯量为
图 18-7
J zc
l
2 2 x 2dm 0
2
l
2 x2
M
dx
0
l
1 Ml 2 12
对应的回转半径
2. 均质细圆环
例 18-3 钟摆简化力学模型如图 18-11 所示，已知均质杆质量 m1、杆长 l ，圆盘质量
m2、半径 R，求钟摆对水平轴 O的转动惯量。
图 18-11 解 摆对水平轴 O的转动惯量等于杆 1 和圆盘 2 对轴 O的转动惯量之和，即
J O J 1O J 2O
由转动惯量平行移轴定理得
所以
J1O J 1C m1 ( l ) 2
刚体对轴转动惯量的计算
一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道， 刚体对某轴 z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到
方的乘积的总和，即 J z
2
mi ri 。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成
z 轴距离平
Jz
r 2 dm
M
（ 18-11）
由上面的公式可见， 刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，
两轴的不同转动惯量之间的关系。
设刚体的质心为 C，刚体对过质心的轴 z’的转动惯量为 J z ，对与 z’轴平行的另外一
轴 z 的转动惯量为 J z ，两轴间的距离为 d，如图 18-10 所示。分别以 C、 O两点为原点建立 直角
坐标系 Cx’y’z’和 Oxyz，由图可见
图 18-10
J z'
mi
而
与刚体的运动状态无关， 它永远是一个正的标量。 如果不增加物体的质量但使质量分布离轴
远一些， 就可以使转动惯量增大。 例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些， 使得大部分质量集
中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反，某些仪器仪表中的转动零件，为
了提高灵敏度， 要求零件的转动惯量尽量小一些， 设计时除了采用轻金属、 塑料以减轻质量
1
x
b
2
1
y
a
2
a2 b2
z
2
x
y
z
10 r
5
J x J y 1 m( 3r 2 l 2 ) 12
J z 1 mr 2 2
x
y
3(3r 2 l 2 )
6
2
z
r
2
三、平行移轴定理
机械设计手册给出的一般都是物体对于通过质心的轴
（简称质心轴） 的转动惯量， 而有
时需要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。 平行移轴定理阐明了同一物体对于上述
形体
转动惯量
回转半径
J x J z 1 ml 2 12
Jy 0
3l
x
z
6
y0
J x J y 1 mr 2 2
J z mr 2
2
x
y
r
2
zr
J x J y 1 mr 2 4
J z 1 mr 2 2
1
x
y
r
2
2
z
r
2
Jx 1 mb2 4
Jy
1 ma2 4
Jz
1 m( a 2 b 2 ) 4
J x J y J z 2 mr 2 5
外，还要尽量将材料多靠近转轴。
工程中常把转动惯量写成刚体总质量 M与某一当量长度 的平方的乘积
Jz
M
2 z
（ 18-12 ）
z 称为刚体对于 z 轴的 回转半径 （或 惯性半径 ），它的意义是，设想刚体的质量集中在与 z
轴相距为 z 的点上，则此集中质量对 z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。
具有规则几何形状的均质刚体， 其转动惯量可以通过计算得到， 惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。
mi yi' 0 ，又 mi m，所以上式简化
J z J z' md 2
（ 18-13 ）
上式表明： 物体对于任一轴 z 的转动惯量， 等于物体对平行于 z 轴的质心轴的转动惯量， 加 上物体质量与两轴间距离平方的乘积。这就是 转动惯量的平行移轴定理 。
由公式（ 18-13 ）可知，在一组平行轴中，物体对于质心轴的转动惯量为最小。
r
'
2 i
mi
(
x'
2 i
y'
2 i
)
Jz
mi ri 2
mi ( xi2
y
2 i
)
其中
xi xi' ,
y i yi' d
代入得
Jz
mi
[
x'
2 i
( y' i
d)2 ]
mi (x 'i2
y
'
2 i
2dy
' i
d2)
mi
(
x
'
2 i
y
'
2 i
)
2d
mi
y
' i
d2
mi
因质心 C 是坐标系 Cx’y’z’的坐标原点，故 为
z
J zc
l 0.289l
M 23
如图 18-8 所示均质细圆环半径为 R，质量为 M。任取圆环上一微段，其质量为
对 z 轴的转动惯量为
Jz
R 2dm MR 2
M
dm ，则
对应的回转半径
图 18-8
3. 均质薄圆盘 如图 18-9 所示均质圆盘半径为
z
J zc
R
M
R，质量为 M。在圆盘上取半径为
r 的圆环， 则此圆环的
M
2M
dm 质量为
R2 2 rdr
R2
rdr ，则
图 18-9
对 z 轴的转动惯量为 对应的回转半径
Jz
r 2 dm
M
R 2M 0 R2
r 3dr
1 MR 2 2
z
J zc M
R 0.707R
2
常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的转动惯量及回转半径可由表 计手册8-1 均质简单形体的转动惯量 (m 表示形体的质量 )
，大圆半径为 R，挖去
的小圆半径为 r ，两圆心的距离 OO1=a。试求板对通过 O点并垂直于板平面的轴的转动惯量。
解 根据转动惯量的定义，板对
图 18-12 O 轴的转动惯量等于（没有挖去小圆时）整个大圆对轴
O的转动惯量 J 大圆 O 与小圆对轴 O的转动惯量 J 小圆 O 之差，即
J O J 大圆 O J 小圆 O
J 大圆O 1 mR2 1 R4
其中
2
2
，由转动惯量平行移轴定理得
于是
J J 小圆 O
小圆 O1
r 2 a2 1 r 2 r 2 2
1 r 2 (r 2 2a 2 ) 2
r 2 a2
J0 1 R4 2
1 r 2 (r 2 2a2) 2
[ R4 r 2 (r 2 2a 2 )] 2