对数正态分布

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是正态分布的随机变量，则exp(X) 为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于，对数正态分布的概率分布函数为

其中与分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

给定期望值与标准差，也可以用这个关系求与

与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于，几何平均差等于。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数，几何标准差

或者更为一般的矩

[编辑]局部期望

随机变量在阈值上的局部期望定义为

其中是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

其中是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。

其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。

因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在

同样的μ与σ处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

•如果与，则是正态分布。

•如果是有同样μ参数、而σ可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且，则Y也是对数正态分布变量：。

μ=0

μ=0

is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes