用换元法与放缩法证明不等式

用换元法与放缩法证明不等式

一、换元法证不等式

例1 已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≤4.求证：|3a 2－8ab －3b 2

|≤20.

探究1 有些不等式直接证明较为困难，但通过换元的思想方法可使问题便于研究．常见的换元是三角换元，用三角代换把问题转化为三角问题，利用三角函数的性质就可解决．根据实际情况，实施的代换方法有：

①若x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)，可设x ＝acos α，y ＝asin α，α∈[0，2π)；

②若x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，可设x ＝acos α，y ＝bsin α，α∈[0，2π)； ③若x 2＋y 2≤1，可设x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(0≤r≤1)，θ∈[0，2π)； ④对于1－x 2，可设x ＝cos θ或x ＝sin θ； ⑤对于1＋x 2，可设x ＝tan θ或x ＝cot θ； ⑥对于x 2－1，可设x ＝sec θ或x ＝csc θ.

思考题1 (1)设x ＋y ＝1，x ，y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值为( )

A.14

B.34 C ．－14

D ．－34

(2)求证：－2x ＋x ＋1＋3≤418

.

二、放缩法证明不等式

例2 (1)对于任意n∈N *，求证：1＋12＋13＋14＋…＋1n ＜74

.

(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b>c ，求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c

.

探究2 (1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项122开始放大，结果为原式＜1＋(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝2－1n

＜2这样显然放的过大． (2)本例题是通过改变n 2

中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的，对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的．

(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式，另外自己应该总结一些常见的放缩公式，如：

k ＋1－k ＜12k ＜k －k －1， 真分数性质：b ＋m a ＋m >b a

(a ＞b ＞0，m ＞0)， 1k 2＜1k －1－1k

，n ！＞2n －1(n≥3)，2n －1＞n ＋1(n≥4)． 思考题2 (1)已知a ，b ，c ，d 均为正数，S ＝a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c

，则一定有( ) A ．0

.

用换元法与放缩法证明不等式

一、换元法证不等式

例1 已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≤4.求证：|3a 2－8ab －3b 2

|≤20.

【思路】 本题主要考查证明不等式的常用方法，根据条件a 2＋b 2≤4的特征，可运用换元法进行证明．

【解析】 ∵a，b ∈R ，a 2＋b 2≤4，

∴可设a ＝rcos θ，b ＝rsin θ(θ∈R )，其中0≤r≤2.

∴|3a 2－8ab －3b 2|＝r 2|3cos2θ－4sin2θ|＝5r 2|cos(2θ＋φ)|≤5r 2≤20.

∴原不等式成立．

【讲评】 容易出现令a ＝2cos θ，b ＝2sin θ，θ∈[0，2π]这样错误的换元法，造成失误．

探究1 有些不等式直接证明较为困难，但通过换元的思想方法可使问题便于研究．常见的换元是三角换元，用三角代换把问题转化为三角问题，利用三角函数的性质就可解决．根据实际情况，实施的代换方法有：

①若x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)，可设x ＝acos α，y ＝asin α，α∈[0，2π)；

②若x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，可设x ＝acos α，y ＝bsin α，α∈[0，2π)； ③若x 2＋y 2≤1，可设x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(0≤r≤1)，θ∈[0，2π)； ④对于1－x 2，可设x ＝cos θ或x ＝sin θ； ⑤对于1＋x 2，可设x ＝tan θ或x ＝cot θ； ⑥对于x 2－1，可设x ＝sec θ或x ＝csc θ.

思考题1 (1)设x ＋y ＝1，x ，y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值为( )

A.14

B.34 C ．－14 D ．－34 【解析】 ∵x＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14

. ∴x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy ＝1－xy≥1－14＝34.当且仅当x=y=12

时取等号， 故x 2＋y 2＋xy 有最小值34

. 【答案】 B

(2)求证：－2x ＋x ＋1＋3≤418

. 【证明】 设函数y ＝－2x ＋x ＋1＋3， 设x ＋1＝t ，t ∈[0，＋∞)，则x ＝t 2－1.∴y ＝－2t 2＋t ＋5=-2(t-14)2+418≤418

. 二、放缩法证明不等式

例2 (1)对于任意n∈N *，求证：1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＜74

. 【思路】 通过变形将数列{1n 2}放缩为可求和数列． 【解析】 方法一：∵1n 2＝1n·n ＜1n （n －1）＝1n －1－1n

(n≥2)， ∴1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋122＋13×2＋14×3＋…＋1n （n －1）

＝1＋14＋(12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝54＋12－1n ＝74－1n ＜74

. 方法二：∵n∈N *

，当n≥2时，

n 2＞n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，∴1n 2＜1（n ＋1）（n －1）＝12(1n －1－1n ＋1

)． ∴1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12(1＋12－1n －1n ＋1

) ＝74－12(1n ＋1n ＋1)＜74

. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b>c ，求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c

. 【证明】 a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b ＝a ＋b 1＋a ＋b ， 设f(x)＝x 1＋x (x>0)，则f′(x)＝1（1＋x ）2>0.∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 又a ＋b>c>0，∴a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c ，∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c

. 探究2 (1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项122开始放大，结果为原式＜1＋(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝2－1n

＜2这样显然放的过大． (2)本例题是通过改变n 2

中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的，对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的．

(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式，另外自己应该总结一些常见的放缩公式，如：

k ＋1－k ＜12k ＜k －k －1， 真分数性质：b ＋m a ＋m >b a

(a ＞b ＞0，m ＞0)， 1k 2＜1k －1－1k ，n ！＞2n －1(n≥3)，2n －1＞n ＋1(n≥4)．