第2章 单方程计量经济学模型

2.2.1 单方程模型的表示
1．方程式形式
一元线性回归模型：y 0 1 x 。x为解释变 量，y为被解释变量。 多元线性回归模型的形式： yi 0 1 x1i 2 x2i ... k xki i 其中，k+1为解释变量个数，包括常数虚拟变量； i 1, 2,..., n ; i为观察值下标， n为样本容量。
2
E ( ei2 ) n2

E ( ei2 ) n2
具体证明过程见课本。
3．例2.1 消费与收入模型
消费量是由什么决定的？在现实生活中，影响各 个家户消费的因素很多，如收入水平、商品价格水平、 利率水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状 况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、 风俗习惯等等。在凯恩斯理论中，他认为这些因素中 又决定意义的是家户收入。为此，可从诸多因素中抽 出这单一因素单独分析。
并非所有的非线性函数形式都可以线性化。无法线 性化模型的一般形式为：
Y f (X1 , X2 ,, Xk )
其中，f (X1 , X2 ,, X k )为非线性函数，例如：
Q AK L 的生产函数模型就无法线性化。


§2.3
一元线性回归模型的估计
2.3.1 单方程线性模型建立假设条件 2.3.2 一元线性回归模型的普通最小二乘估计方法 2.3.3 一元线性回归模型估计量的性质
基本假设：
①解释变量是确定性变量，不是随机变量，且解释变 量之间不相关。 ②随机误差项具有零均值和同方差，即：
E(i =0) i=1,2,,n
2 Var(i )= i=1,2,,n
③随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序 列相关，即： Cov(i , j ) 0 i j且i, j 1, 2,, n ④随机误差项与解释变量之间是不相关的，即：
2．回归分析的特点 ①回归分析主要研究具有统计相关关系变量间的因果 关系，变量的地位是不对称的，有解释变量与被解释 变量之分，而且解释变量往往被假设为非随机变量。 ②回归分析更加关注变量间的具体依赖关系，因此， 可以进一步通过解释变量的变化来估计或预测被解释 变量的变化，达到深入分析变量间依存关系，掌握其 运动与变化规律的目的。
Cov(xij , i ) 0
j 1, 2,, k
i 1, 2, , n
注意： 1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;
2、如果假设4满足，则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或 高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模 型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
Q AK L e

4．指数函数模型 例如，生产中成本C与产量Q的关系为指数关系：
C ab e
Q
5．其它复杂函数模型
例如，著名的CES生产函数将产出量Q与投入要素 （K，L）之间的关系描述如下：
Q A(1 K

2 L )


1


2.2.3 非线性模型线性化方法
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分 析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的：
正相关 线性相关 统计依赖关系 不相关 相关系数： 有因果关系 无因果关系 回归分析 相关分析 负相关 1 XY 1 正相关 非线性相关 不相关 负相关
本章学习目的
a) b) c) d) e) 回归分析的含义与特点； 变量间非线性关系的线性化方法； 单方程线性模型建立的基本假设； 一元线性回归模型的估计方法； 多元线性回归模型的估计方法。
§2.1
2.1.1 2.1.2
回归分析概述
回归分析的含义和特点 回归分析的基本概念
2.1.1
回归分析的含义和特点
1．倒数模型 例如，商品的需求曲线是一种双曲线形式，商品 需求量Q与商品价格P之间的关系表现为非线性倒数模 型关系：
1 1 =a b Q P
2．多项式模型
例如，著名拉弗曲线描述的税收s和税率r的关系 是抛物线形式：
s a br cr , c 0
2
3．幂函数模型 例如，著名的Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q 与投入要素（K，L）之间的关系描述为幂函数形式：
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模 型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型） PRF。 估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小 二乘法（ordinary least squares, OLS）。为保证参数 估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假 设。
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
▲注意： ①不线性相关并不意味着不相关； ②有相关关系并不意味着一定有因果关系； ③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些 ）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因 果关系。 ④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变 量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存 在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量 （解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
2.3.2 一元线性回归模型的普通最小二乘估计方法
普通最小二乘估计（Ordinary Least Square）是最 为重要的一种估计方法。它是通过应用最小二乘原则 得到参数估计量，是其它特殊估计方法的基础。
应用普通最小二乘法进行参数估计主要有两大任 务，一是结构参数的估计，即得出 0 和 1的估计值；二 是分布参数的估计，即估计随机误差项的分布。
2．矩阵形式 用矩阵形式表示单方程计量经济学模型为：
其中，
Yn1 X n( k 1) B( k 1)1 Un1
x21 xk1 1 y1 0 y x22 xk 2 B 1 Y 2 U 2 y n x2 n xkn n k
1．回归分析的含义
经济变量之间的关系，大体可分为两类：
（ 1 ）确定性关系或函数关系：研究的是确定现 象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现 象随机变量间的关系。
例如：函数关系： 圆面积 f , 半径 半径2 统计依赖关系/统计相关关系：
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
1．结构参数的估计 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样 本回归函数尽可能好地拟合这组值。 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给 出的判断标准是：二者之差的平方和
ˆ ˆ X )) 2 ˆ ) (Y ( Q (Yi Y i i 0 1 i
称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。
由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的， 故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。
2018年4月8日星期日
哈工程经济管理学院
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2．分布参数的估计 参数估计的第二项任务是估计随机误差项的分布 参数，随机误差项服从期望为0的正态分布。 记 ˆi ei yi y 为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的观测值与 估计值之差。则随机误差项方差的估计量为：
1．变量的直接置换法 对于倒数模型、多项式模型等关于变量的非线性 形式，可以通过变量的直接置换变换成线性模型。
1 1 （2.5）式，用 Y 和 X 置换 Q P
Y a bX 2 （2.6）式中，用 X1 r ， X 2 r 进行置换 s a bX1 cX 2 ,c 0
回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要 内容包括： ①根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求 得回归方程； ②对回归方程、参数估计值进行显著性检验；
③利用回归方程进行分析、评价及预测。
§2.2
单方程模型概述
2.2.1 2.2.2 2.2.3
单方程模型的表示 变量间的非线性关系 非线性模型线性化方法
2.1.2 回归分析的基本概念
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于 另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其用意在于通过后者的已知或设定值，去估计和（ 或）预测前者的（总体）均值。 这里前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些 ）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量 （Independent Variable）。
经调查某地区一部分家庭的消费与收入状况，得到 xi 表示可支配收入，单位： 一组样本数（ y i表示消费， 元）。试估计该地区消费与收入的一元线性回归模型。
1
xi
800
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
yi
638
935
1155 1254 1408 1650 1925 2068 2266 2530
以为横坐标、为纵坐标，画出散点图。由散点图 可知该地区消费与收入存在线性相关关系。
散点图 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 1000 2000 3000 4000 散点图
2．函数变换法 例如，（2.7）式与（2.8）式中，同时分别对方 程两边取对数，即形成线性模型，分别为：
lnQ ln A ln K ln L
ln C ln a Q ln b
3．级数展开法
例如，（2.9）式中，方程两边取对数后得到：
ln Q ln A 1
2 1 1 n n
最小。
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
记
1 1 X X i , Y Yi n n x X i X , y Yi Y
xi y i ˆ 1 x i2 ˆ ˆ 0 Y 1 X
上述参数估计量可以写成：
1 x11 1 x 12 X 1 x1n
2.2.2 变量间的非线性关系
在实际经济活动中，经济变量间的线性关系并不多 见，大部分是复杂的非线性关系。例如，著名的恩格尔 曲线表现为幂函数曲线形式，宏观经济学中的菲利普斯 曲线表现为双曲线形式等。宏观经济学中研究的主要非 线性关系有以下几类。
第二章
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5
单方程计量经济学模型
回归分析概述 单方程模型概述 一元线性回归模型的估计 多元线性回归模型的估计 极大似然法
单方程计量经济学模型是相对于联立方程 计量经济学模型而言的，它以单一经济现象为 研究对象，模型中只包含一个方程，通过回归 分析揭示因素之间的单向因果关系，是应用最 为普遍的计量经济学模型。根据方程中变量的 数量，单方程计量经济学模型又可分为一元线 性回归模型和多元线性回归模型。

ln(1 K 2 L )
将（2.14）式中的 ln(1 K 2 L )在 0 处展 开泰勒级数，取关于 的线性项，即得到一个线性近似 式。如取0阶、1阶、2阶项，可得：
1 K 2 ln Y lnA 1 ln K 2 ln L 1 2 [ln( )] 2 L
2.3.1 单方程模型建立假设条件
单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和 非线性模型。线性模型中，变量之间的关系呈线性关 系；非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系
一元线性回归模型：只有一个解释变量
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
源自文库
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数， 为随机干扰项。