张量场的可视化及其科学应用

张量场的可视化及其科学应用

摘要：三维数据场的可视化是科学计算可视化的一个重要研究领域，其最初的应用大大推动了计算流体动力学的研究。从标量场数据发展到矢量场和张量场数据的可视化，我们对于新的可视化手段的需求与日俱增。本文从对三维二阶张量的基本数学分析开始，介绍张量场可视化的几类基本手段，图元法，特征法，艺术法，体绘制法，和形变法。在此基础上，本文介绍张量场可视化在大脑成像和地质勘探两个科学研究中的具体应用，以探讨其可能的发展方向和前景。

关键词：张量数据;可视化;科学应用

按照数据参量的复杂程度，数据场可以分为标量场，矢量场和张量场。标量场的数据结构简单，每一场点对应单一数据，因此其可视化在已经有了成熟的技术，如体积光线投射，等值面等方法；而矢量场和张量场的可视化则在原有的单一变量的基础上，有了更多的数据维度，如方向，形变等，因此要求了更新、更复杂、更综合的可视化方法。与矢量场相比，张量场的数据点包含着更大的信息量，其可视化涉及了工程和基础科学的各个领域，因此是目前科学计算可视化的热点，也是难点。

基本方法

不同维度与阶数的张量为具体的可视化操作带来了巨大的挑战。在科学数据可视化的常见情况下，三维二阶对称张量数据是我们需要进行可视化操作的对象，比如流体微团的变形率张量，流体面元的应力张量等等。三维二阶张量包含个分量，这九个分量的可视化必须建立在统一表现的基础上，才得以显示出整个张量在空间点的数据结构，甚至是物理意义，而不像标量场可视化那样，仅仅关注每个空间点的单一数据。在我们所讨论的张量可视化的方法和实例中，三维二阶对称张量都是我们的主要的，理想的研究对象。

张量数据可视化的方法主要可以分为以下几类：图元类(glyph)，特征类(feature-based)，艺术类(art-based)，体绘制类(volume-rendered)以及形变类(deformation)。前两者是最常见的方法，在本文中会重点介绍。

一、图元法(glyph)

图元法是一种利用包含信息的图像符号直接表示每个张量数据点的方法。在了解具体的图元法实现手段之前，我们有必要了解张量数据的基本数学结构。以流体力学中流体微团的变形率张量为例，流体微团的应变率张量是一个三维二阶实对称张量，通过矩阵形式表示：

其中主对角线的1ε，2ε ，3ε 代表坐标轴方向的变形速度，1θ ，2θ ， 3θ代表坐标轴夹角的剪切应变率。由线性代数理论，存在正交矩阵T ，使得

即使得原张量矩阵对角化。并且，矩阵T 的三个列矢量分别是上述对角矩阵的互相正交的特征矢量（特征方向），1σ ，2σ ， 3σ是与特征矢量相对应的特征值。通过这个数学变换，原张量数据所包含的信息，即六个独立分量，被等价变换为三个实特征值和对应的互相正交的特征矢量所包含的信息，而后者正是张量数据可视化的图元法所主要依赖的理论基础。

在众多可供选择的图元中，三维椭球图元是最为常见的可视化元素。将椭球中心置于数据原点，椭球的三个主轴方向对应于三个特征矢量方向，三个轴长对应于相应的特征值大小。如此，张量场中每一规则格点的数据都可以通过取向，大小和形状不同的椭圆来对应表示，实现了多分量数据的统一可视化。

将椭球作为图元的方法有易见的优点：椭球的几何特征和张量数据结构的合理对应，因而容易辨别每个分离点的张量数据特征。但是，椭球图元也有其局限性：(1) 特征值的符号无法通过椭球的几何特征表现，而只能通过颜色标记等其他方法区分；(2) 椭球有其自身的光滑几何表面，不合适的视角很容易影响观者对特征方法和特征值数据的观察判定；(3) 在三维情况下，密集的数据点容易发生堆积、层叠，从而影响视线；(4) 单一图元表达的信息量局限于最基本的层面，无法表现出张量数据的互相关联和局域性特征。事实上，特征值符号，图元视角缺陷和区域结构缺乏这三个问题较为普遍地存在于使用离散型图元法的张量可视化问题。

因为缺乏对特征值符号的最优表现方法，椭球以及其他图元一般仅用于正定矩阵张量（所有特征值均为正）的可视化，如脑成像中的扩散张量等，而较少的应用于既有拉伸又有压缩的地应力问题。

为了克服椭球的视角问题，使用高级图元的方法被提出，如Westin 使用的球，盘和棒的复合图元组合，Kindlmann 使用超二次曲面图元，将椭球，长方体，圆柱体的最佳特征整合在一起。这些方法都有效地丰富了图元法的可视化表现力。

图一 椭圆半径，圆盘半径和棒长分别对应于最小特征值，中间特征值，和最

大特征值的两倍（左）；相交的大脑白质束的张量场模拟

将图元法与特征法结合，可以弥补传统图元法在表达区域结构上的不足，从而能够呈现局域特征，在表达信息层面更高一级。这样的方法包括线图元和图元堆积，在如下的特征方法中集中讲述。

二、特征法(feature-based)

基于特征的可视化方法着眼于数据场对象特征的提取与再呈现，是一种呈现信息层面较高的方法。

最常用的能够表现张量场数据局域性特征的方法是Delmarcelle和Hesselink提出的超流线(Hyperstreamline)。超流线的概念衍生于矢量场中的流线（描述速度场的连续曲线），其数学结构基础同样基于我们在图元法中对三维二阶张量的特征矢量和特征值的分析。超流线通过以下方法生成：沿张量场的某一个特征矢量的轨迹作超流线的轨迹方向（主特征矢量对应于主超流线），垂直于轨迹方向的横截面积采用以另两个特征矢量的大小为轴长的椭圆形（简并情况下则为圆形），通过这样的图形扫过的空间区域表面就成为超流线。

首先，主超流线的轨迹在实际物理背景下，能够表示应力的传播或者动量的传递。我们还可以对超流线沿轨迹方向做不同的颜色标度，这样可以直观地表现出例如主超流线轨迹方向的主特征值变化趋势。

其次，横截面的图形除了使用椭圆形（圆形）之外，还可以采用十字形，即通过两个正交轴的长度来表示对应的两个的特征值大小。相比之下，前者的使用能够使得横向特征矢量简并的状况（对应与横截面为圆形）更容易判断，而后者的使用则能够更清晰地指明两个横向特征矢量的方向，但不适合用于简并而特征矢量方向不唯一的情况。通过横截面在空间的连续变化，可以得到主特征矢量之外另两个特征矢量方向的区域信息。

因此，超流线的方法的显著优点即是表现出了标量场数据的连续变化。

(a) (b)

(c) (d)

图2 用超流线表现两个点压缩力引起的应力分布(a) 主超流线；(b) 中超流线；(c) 辅

助超流线；(d) 三种超流线一起呈现

尽管超流线在表现数据连续性上要优于图元法，但是充分表现局域特征的同时也牺牲了数据的细节。因此，如何能够兼顾大特征与小细节是一个需要解决的问题。