第三章 资金的等值计算

例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%，单位：元)
年份 1 2 3
年初帐面余 额 100 110 121
年利息 10 11 12.1
年末本利和 110 121 133.1
复利计算公式为： 终值F＝P（1＋ i ）n 总利息： I＝F-P
通常，商业银行的贷款是按复利计息的。
例 某企业以6%的年利率向银行贷款1000万元，贷 款期5年，分别以单利、复利计算。问5年后企业支 付多少利息?如果贷款期为十年呢？
• 资金额大小
• 资金发生的时间
• 利率
②举例
例如：现在的100元与一年后的106元，数量上并 不相等，但如果将这笔100元的资金存入银行，且 年利率为6%时，一年后的本金和利息之和 为:F=100(1+6%)=106
即，在年利率为6%的条件下，现在的100 元与一年之后的106元，则两者是等值的。
＝5.158％
实际利率：i=5.158%（年利率）
例（P36）现设年名义利率r＝6%，则年、半年、季、 月、星期、日的年实际利率如下表所示。
计息期 年 半年 季度 月 星期 日 连续 年计息次数 1 2 4 12 52 365 ∞ 计息周期利率（%） 6.0000 3.0000 1.5000 0.5000 0.1154 0.0164 0.0000 年实际利率（%） 6.0000 6.0900 6.1364 6.1678 6.1797 6.1799 6.1837
③
复利
间断复利：计息周期为一定的时 间区间（年、季、月） 连续复利：计息周期无限缩短
连续复利
间断复利
从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过 生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能 无限缩短，因而采用百度文库为简单的间断复利计息。
例：某人把10000元，按利率10%（以单利计息）借 给朋友3年。3年后，改以复利计息，朋友又使用了4 年。最后他从朋友那里收回的本利和F是多少？
单利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期×m) 利息 P ×i 期×m 年利率：P×i期×m / P = i期×m = r 复利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息 P(1+i期) m - P 年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1
所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1 当m＝1时，名义利率等于实际利率； 当m＞1时，实际利率大于名义利率。 当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的 关系为：
（二）一次支付现值计算 已知F，求P？
……
F
0 P=?
1
2
3
4
5
6
n
一次支付现值现金流量图
现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到 现在所对应的金额。 一次支付现值公式为 P=F /(1+i)n=F(P/F,i,n)
例：某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利 率2%的情况下，求当前应存入金额。 【解答】P=F/ (1+i)n=100/ (1+2%)5 =100（P/F,2%,5） =100×0.9057=90.57（元）
但若计息周期为1年，则1年末一次性需偿还本利和： 10*（1+6.39%）=10.639万
（2006年时5年以上年贷款利率6.39%，年存款利率4.14%，其实存贷利率差不仅是6.39% 与4.14%的差距，而是6.58%与4.14%的差距，所以银行有误导倾向）
案例分析
方案一：借款100万，年利率为8%，一个季度计息一次。 方案二：借款100万，年利率为8.5%，半年计息一次。 问：若两年后还款，则选择哪种借款方式？
解： 单利计息法公式：F前3年＝P(1＋ i n) 复利计息法公式：F后4年＝P(1＋ i)n F=10000(1+10%×3)(1+10%)4 =19033元
最后可收回本利和是19033元。
讨论：
现在存入银行100元，年利率为12%，一年 末一次性可以取出本利和多少？ 若一个月计息一次，则一年末可以取出本利 和多少？
资金等值计算最基本的六个形式：
一次支付终值计算 一次支付现值计算
等额支付终值计算
等额支付偿债基金计算
等额支付现值计算
等额支付资本回收计算
（一）一次支付终值计算 已知P，求F?
0
P
F=?
1
2
3
4
5
6
……
n
一次支付终值现金流量图
终值又称将来值，是指将现在一定量的资金折算到 未来某一时点所对应的金额。 一次支付终值公式为 F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)
几个相关的概念—―折现”或“贴现”、“现值”、 “终值”、“年金”等 资金等值计算：利用等值的概念，可以把在一个时 点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这 一过程叫资金等值计算。 把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金 额称为“折现”或“贴现”。 将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。 与现值等值的将来某时点的资金金额称为“终值”。
i lim [(1 r / m) 1] lim [(1 r / m)
m m m
m/ r r
] 1 e 1
r
注意： 如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数 情况下都是年名义利率。
例:住房按揭贷款
名义利率i =5.04%，每年计息12次
计息期利率：r/m=4.2‰ （月息） i ＝（1+r／m）m - 1 ＝ （1+5.04％／12）12 - 1
（三）等额支付终值计算
已知A，求F?
F=?
0
1
2
3
4
…… ……
n
A
n （1 i） -1 F A A (Ｆ/ A,i, n ) i
例：某人从 30岁起每年末向银行存入8 000元， 连续 10年，若银行年利率为 8％，问 10年后 共有多少本利和？
复利法：I=F – P =1000 ×(1+6%)5 – 1000 =338.23万元 单利法：I= F – P = P × i × n =1000×5 ×6%=300万元
从例中可以看到， ①当单利计算和复利计算的利率相等时，资金的复 利值大于单利值，且时间越长，差别越大。 ②由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续 不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义 上来说，复利计算方法比单利计算更能反映货币的 时间价值。因此在技术经济分析中，绝大多数情况 是采用复利计算.
资金的等值计算
不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金 称为等值，又叫等效值。在方案比较中，由于资金 时间价值的作用，使得各方案在不同时间点上发生 的现金流量无法直接比较，利用等值的概念，可以 将一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金 额，这一过程叫资金等值计算。
说明：
① 影响资金等值的因素有三个
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%,单位：元）
年份 年初帐面余额
1 2 3 100 110 120
年利息
10 10 10
年末本利和
110 120 130
单利计算公式为： F＝P（l ＋ i n）
总利息 :I＝F - P ＝P i n
2）复利：以本金与累计利息之和为基数计 算利息，即“利滚利”。
名义利率与实际利率的计算
在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计 息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小 于一年时，一年内计算利息的次数不止一次了，在 复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息， 因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。
假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常 称为“年利率12%，每月计息一次”。
这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说, 名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息 周期数的乘积。
但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月 计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应 比12%略大些。
设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周 期的利率应为r／m， 求一年后本利和、年利率？
每年计息周期越多，年实际利率和名义利率相差就 越大。 在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同， 就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利 率进行评价，否则会得出不正确的结论。
总结
当利率周期与计息周期不等时，一般有两种 处理方法： (1)将其换算为实际利率后，再进行计算； (2)直接按单位计息周期利率来计算，但计息 期数要作相应调整。
需要说明的是，“现值”并非专指一笔资金“现 在”的价值，它是一个相对的概念。一般地说， 将 t+k时点上发生的资金折现到第t 时点，所得的 等值金额就是第 t+k时点上资金金额的现值。 进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的 参数叫折现率。 年金：分期等额收支的资金值。
进行资金等值计算要涉及到五个基本参数，它们是： i——每一利息期的利率，通常是年利率。 n——计息周期数，通常是年数。 P——资金的现值，或本金。 F——资金的未来值，或本利和、终值。 A——资金的等年值，表示的是在连续每期期末等额 支出或收入中的每一期资金支出或收入额。
技术经济学
谭萍
第三章 资金的等值计算
一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。 二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公 式的应用） 三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周 期与支付周期不等情况下的复利计算）
如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称 为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之 外再得到一笔利息，这一过程可表示为：
F=P+I
式中: F——本利和 P——本金 I——利息
利率几个习惯说法的解释： “利率为8%‖——指：年利率为8%，一年计息一次。 ―利率为8%，半年计息一次”——指：年利率为8%， 每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。
计息的方式——单利与复利 1）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不 再计息。
解答：方案一：100×（1+8%/4）8=100×1.172=117.2（万元） 或： 实际利率：i= （1+8%/4）4 -1=8.24% 100 ×（1+8.24%）2=117.2（万元） 方案二：100×（1+8.5%/2）4=100×1.181=118.1（万元） 或： 实际利率：i= （1+8.5%/2）2 -1=8.68% 100 ×（1+8.68%）2=118.2（万元）
例3.2（P38）某公司现在向银行借款100万元，年利 率为10%，借款期为5年，问5年末一次偿还银行的 本利和是多少？
【解答】由一次支付终值公式可得： F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=161.1（万元） 查表得：(F/P,10%,5)=1.611
复利系数表 i=10%
年 份 n 1 2 3 4 5 6 一次支付 终值系数 (F/P,i,n) 1.100 1.210 1.331 1.464 1.611 1.772 一次支付 现值系数 (P/F,i,n) 0.9091 0.8264 0.7513 0.6830 0.6209 0.5645 等额支付 终值系数 (F/A,i,n) 1.000 2.100 3.310 4.641 6.105 7.716 偿债基金 系数 (A/F,i,n) 1.0000 0.4762 0.3021 0.2155 0.1638 0.1296 等额分付 现值系数 (P/A,i,n) 0.909 1.736 2.487 3.170 3.791 4.355 资金回收 系数 (A/P,i,n) 1.1000 0.5762 0.4021 0.3155 0.2638 0.2296
例：一份遗书上规定有250 000元留给未成 年的女儿，但是，暂由她的保护人保管8年。 若这笔资金的利率是 5％，问8年后这位女 孩可以得到多少钱？
F=?
0
P
1
2
3
n-1
n
计算公式： F= P（1＋ i ）n
F＝250 000×(1+5%）8
= 250 000 ×1.477 = 369 250（元）
例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%，每月计息一次， 则年初借款10万元，则1年末一次性需偿还本利和多少？ 年名义利率：6.39%； 月实际利率：6.39%/12=0.5325%
年实际利率：（1+6.39%/12）12 –1=6.58%
10*（1+6.39%/12）12=10.658万 10*（1+6.58%）=10.658万