2010年A题储油罐的变位识别与罐容表标定解析

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储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要：
关键词：整体拟合重积分
1.问题的重述。

1.1问题的重述。

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

现利用数学建立相应的模型研究解决储油罐的变为识别与罐容表标定的问题。

1.2待解决的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，得到实验数据。

接着建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

1.3问题的分析。

针对问题1：对于储油罐有无纵向变位情况，运用微分知识，分别建立罐体无变位油量体积V与油位高度的关系式和罐体变位油量体积与油位高度的关系式，用MATLAB软件积分求解得出其表达式，结合附件一所给的数据，绘制含有油量体积的理论值、实际值、修正值（理论值与实际值的差值）的表格。

最后，根据罐容表正常的对应值和变位后的修正值，在MATLAB中建立直角坐标系，绘制储油量与油位高度的关系曲线图，分析比较在纵向倾斜α时，对罐容表的影响。

针对问题2：问题2中的模型主要沿用了问题一中的模型的思想，我们同样考虑罐体有无变位的情况进行分析。

在问题一中模型的基础上进行参变数的讨论，将横行参变系数与纵向参变数考虑进去，得出了含有参变系数的表达式。

从附件2
随机抽取一组数据代入该式中，得出不同的α、β值。

在对这些值进行处理取其平均值，得到α、β值。

然后将其代入含有参变系数的表达式中即可得出此种情况下的模型。

再将油的高度按10cm的间隔进行标定即可。

2.模型的假设。

（1）题目所给的数据具有真实性，合理性。

（2）储油罐罐体的变位不考虑自身变形等因素，仅由地基变形引起的。

（3）温度和压强等因素不对油量的变化产生影响。

（4）出油管等其它在罐体内的管的体积忽略不计。

（5）同一罐体在罐体变位前、后油量的体积不变。

3.符号说明。

a：小椭圆型油罐截面的长半轴。

（单位：m）
b：小椭圆型油罐截面的长半轴。

（单位：m）
m：小椭圆型油罐的长度。

（单位：m）
h：油面高度。

（单位：m）
V：罐内油的体积。

0V ：罐内油量的初始值。

S : 罐内油的截面面积。

4.模型的建立与求解。

4.1模型一的建立：
4.1.1在问题一中，我们对罐体无变位情况进行了分析:
小椭圆油罐截面的方程为： 122
22=+b
y y x
得： 22
y b b
a x -=
分情况讨论，由于油面可能出现两种情况：
（1）当H b >时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可
得体积
则阴影部分面积为（其中h H b =-）：
2214b
h ab
y S a dy
b π=--⎰
令cos y b θ=，可得
2
214b
h ab
y S a dy
b π=--⎰
arccos(/)
sin (sin )4
h b ab
a b d πθθθ=
--⎰
arccos(/)
20
sin 4
h b ab
ab d πθθ=
-⎰
arccos(/)
0221cos 242
11(arccos(/)sin(2arccos(/)))42411(arccos(/)1)422h b ab
ab d ab ab h b h b ab
h h ab h b b b
πθ
θ
ππ-=
-=--=---⎰
此时液体体积为： (2)2
ab V S m π=+
（2）当H b ≤时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可得体积
图中两个阴影部分面积相等，因此需算上面那部分的面积即可得知下面那部分的面积。

此时令h b H =-， 此部分面积为：
dy b
y a S b
h ⎰-=22
1
2211(arccos(/)1)22h h ab h b b b =-
此时液体体积为：Sm V 2=
22
1)arccos(b
h b h m m b h ab --=
根据附件一的罐体内的油位高度数据求解椭圆油罐所装的体积 见（附件一）
将所得的数据与题目中的实际数据对比，获得修正值（油差值）见（附件一） MATLA 运行的程序见（附件二）
4.1.2模型二的建立。

建立坐标系以油标线为x 轴，以油桶的底边为y 轴， 对问题一中的纵向变位情况，我们分为五种情况进行讨论：即油面在（0，1h ）（21,h h ）（32,h h ）（43,h h ）(54,h h )五个阶段（如图2）。

其中当油位高度范围在10~h h 这种情况如图所示：
说明：
油位高度在（0，1h ）时，此时的油位探针显示的示数为0，即液面还未到油罐的最底部，可罐体内却是含有油量。

在此情况下h=0时可得1v 为油罐油量的最大值： 即实际储油量： ≤≤实v 01v
v 2
21)arccos(b h b h m m b h ab --=4
.0-x
第二种情况如上图所示：油面的高度为21~h h ，当高度为1h 最小油量为2v ，当高度为2h 最小油量为3v ：
由前文可知
22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
s ---=π
sh v = =v [
22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
---π]
χ
当高度为32~h h 如图所示
油面的高度为32~h h ，当高度为2h 最小油量为3v ，当高度为3h 最小油量为4v ： 43v v v ≤≤实
sh v =实 =[
22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
---π]
5.24
.0-
油面的高度为43~h h ，当高度为3h 最小油量为4v ，当高度为4h 最小油量为5v ：
油面的高度为43~h h ，当高度为3h 最小油量为4v ，当高度为4h 最小油量为5v ： 54v v v ≤≤实 sh v =实
=[
22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
---π]2
1
x
x
由图可知05.21=x
根据相关三角形知识易得05.2tan tan 45
.22.12+-
=
α
αx
即
实v =sh
=[22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
---π]
45.2tan tan 45
.2-
2.105
.2+α
α
油面的高度为54~h h 如图所示
:
说明：
在这种情况下。

此时虽然总体积未满，但是由于油位探针已到达顶部，即显示满位，但任然可以加往里加油：
当高度为4h 最小油量为5v ，当高度为5h 最小油量为6v ：当高度为4h 最小油量为5v ，当高度为5h 最小油量为6v ，由于该图像计算量比较麻烦，所以可以利用总的体积减去空白部分的面积，即空白总实v v v -= 根据圆锥曲线的相关知识可知
ab π=总v
空白总实v v v -=
=-ab π[
22
1)(arccos(2b
h b h b h ab ab
---π]
45.2tan tan 45
.2-
2.105
.2+α
α
根据附件一的变位罐体内的油位高度数据求解椭圆油罐所装的体积 见（附件三）
将所得的数据与题目中的实际数据对比，获得变位后的修正值（油差值）见（附件三） 4.2储油罐罐体变位后油位高度与罐内表标定模型。

4.2.1该部分分为有变位和无变位时两种情况考虑，建立罐容表内的油的体积与显示油高之间的关系模型三。

正面图如图所示：
L
由于无变位时计算比较较简单，先考虑无变位时： 分析该罐油量有两部分组成：
一部分是圆柱罐体，我们先计算一般，根据对称性可以计算出原著的体积，圆柱部分比较简
单，利用公式L R v 2
π=圆柱,利用积分知识即可求得
圆柱部分：LdH S V H •=⎰
圆柱部分 ()dH H
R R L H
220
--=⎰
圆柱部分圆柱V V 2=
另一部分为油罐两端的冠球体，在这种情况下侧面图如图所示:
：
为底圆半径R
为缺球半径
0R
为小圆半径圆r ()2
0R H R r --=
圆
利用积分的相关知识及球的性质，可以推导出缺球的相关计算公式如下：
)(2S
H R H V -
=π缺球 缺球的体积随着液面的H 而改变，可以对H 进行积分求解 SdH V H O
⎰
=缺球
()()dH H R H R r r R r H ----⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰020202
0arccos 圆圆圆+()dH H R R L
H 220
2--⎰
油罐的油位高度与油标的的高及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）存在一定的函数关系
建立数学模型确定变位参数之间的具体关系，分析可知分纵向倾斜和横行两方面考虑：当横向偏转角度β，原图形的侧面图如图所示
分析如图：有三角关系可知
油标H ()H R R --=βcos
由第一问可知该图的横截面积
=S 221arccos 2b h b h b h ab ab
--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-π
S H V •=
[()]•--=H R R βcos []221arccos 2b h b h b h ab ab --⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-π
还有许多数据正在处理中，只列出图形。