工学四川大学线性代数课件第三章第一节 可逆矩阵

例3 解线性方程组
解设 则方程组可表示为AX=B
因为
因而A-1存在，因此A-1AX=A-1B，即X=A-1B
又
所以 为所求解.
例4： 设方A满 阵足方 A2程 A2E0,证明 :
A,A2E都可,并 逆求它们的 . 逆矩阵
证：由 A 2A 2E 0 ,
A1
得 A A E 2 E AAEE
所以 A 可逆，且 A1 12AE.
满足什么条件的方阵是可逆的 ？
设n阶方阵A可逆，由 A A-1= A-1 A=E 有
所以 A 0 ，即如果方阵A可逆，有 A 0 ， 反过来，设 A 0 作矩阵
是矩阵A的伴随矩阵，其中Aij 是行列 式 A 中元素aij 代数余子式.由行列式 的展开定理，可得
同理，由行列式展开定理，可得
由假设 A 0，可得 A(1A)(1A)AE AA
看P47 选择题2
推 A1 A 2 广 Am 1 Am 1 A 2 1 A1 . 1 6若 A可,数 逆 k0,则 k可 A ,且 逆 kA11A1k1A1.
k
7 若 A 可 ,则 A T 亦 逆 ,且 可 A T 1 A 1逆 T. 证明 A T EA T 1ET ,A 1 A T A T 1A 1T .
CX12BX22E,
从而X 得 1 1A 1,
X 1 2O ,
X2 1B 1CA 1, X2 2B 1,
故
D 1 B A 1C 1A 1 B O 1 .
同理可得： 设 A、 B均可 ,对 逆分块 D:矩阵 (1 )设 D O AC B ,则 D 1 A O 1 A B 1 C 1 B 1 ; (2 )设 D C BO A ,则 D 1 A O 1 A B 1 C 1 B 1 .
用伴随矩阵来求逆矩阵的方法，对我们来说运算量偏大， 故常只用于求较低阶的矩阵的逆，或用于证明中。
A 11
A1
1 A，其中A A
A12
A 1n
A 21
A n1
A22 An2
A 2n
A nn
其中A为A的伴随矩阵，
Aij为行列式A中元素aij的代数余子式.
例如，对二阶方阵
A
a c
b d
当 A ad bc 0时，有
A1
1 A
A
1 ad bc
d c
b a
分块矩阵的逆矩阵
例2 设 A ,B 都n阶 是可,逆 证D 矩 明 A阵 0 CB
必为可 ,并 逆 D 求 的 矩 逆 阵 . 矩阵
解：因d为 eDtdeAtdeB t0(A,B均可 , 逆 deA t0,deB t0)所 , D 以 为可逆 . 矩阵
A32=-4 A33=2
得 所以
b1
B
b2
b3
1/ b1
如b1b2b30,
B可逆,
且
B1
1/ b2
1/ b3
求逆运算容易出错, 在求得A1后, 可验证 AA1=E, 保证结果是正确的.
可逆矩阵的性质:
（1）如果方阵A可逆，则其逆矩阵唯一。
（2） 若 A E 或 B B E , 则 A B A 1 .
即 A1 1 A A
定理1
矩阵 A可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A, A
其A 中 为矩 A的 阵伴随 . 矩阵
例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
b1
B b2
b3
解 因为
2 A 2 0
所以A-1存在。
同理可得
A12=-3 A22=10 A13=1 A23=-4
故AB1可逆； （ (AB1)1A1） 1
(2) (AB1)1A1
（ (AB1)1B1A1） 1 ABA
(A B 1 ) 1 (E (A B 1 )A 1 )
3若 A 可,则 逆 A 有 1A 1.
4 若 A 可 ,则 A 逆 1 亦 ,且 可 A 1 1 A 逆 .
5 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B 1 A 1
证明 A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B
AE1Awk.baidu.comA 1E,
A 1 B B 1 A 1 .
逆矩阵的定义
定义 设A是一个n阶方阵，如果存在n 阶方阵B，使得
AB=BA=E 则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为 A-1，即 B=A-1
由定义易知，如果方阵A可逆，则其逆
矩阵是唯一的，事实上，设B、C都是A
的逆矩阵，即 AB=BA=E AC=CA=E
则 B=BE=B(AC ) = (BA) C=EC=C 所以A的逆矩阵是唯一的. 显然有单位矩阵E是可逆的，且E-1=E
2
又 A 2 A 由 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0 所以A A 22E E可逆1 4，A A 32 E E 1 E A 12E A 13E
4
课后思考： 设方阵满足方程 A 2 3 A 1 E 0 0 证:明 A和 A4E都可逆，并逆 求矩 出阵
例5：设方阵B为幂等矩阵，
（即 B2 B ，从而对正整数k，Bk B ）
AEB, 证明：A是可逆矩阵，且
证明：
A1 13EA
2
A
13E
2
A
1EB3EA
2
1EB3EEB1EB2EB
2
2
12EB2BB2 12EB2BB E
2
2
A113EA
2
例6 设方阵A，B，AB-E均可逆，证明：
(1)A B1可逆；
(2)(AB1)1 A1可逆，并求出它的 阵逆矩 证：(1) ABEABB1B (AB1)B (AB1) B0
问题的提出
在矩阵中我们推广了数的加、减、 乘 运算，我们自然就会想到矩阵是 否有类似于数的运算——除法呢？我 们知道，所谓数的除法，就是给定一
个非零的数a，存在唯一的b,使得
ab=ba=1
记
则有
于是我们自然会问，在矩阵运算中， 对于任一非零矩阵A，是否存在唯一矩 阵B，使
？ AB=BA=E
1 矩阵乘法运算中的“ ”
设 D1X11 X12,其X 中 ij均为 X21 X22
n阶矩 (i,阵 j1,2),
D D1 A 0 X11 X12 C B X21 X22
AX11
AX12
C X11 B X21 C X12 B X22
E 0 (E是n阶单位阵) 0 E
AX11E,AX12O, 依矩阵相等 C的 X11定 BX义 21O 有 ,