运动电荷在磁场中的偏转

运动电荷在磁场中的偏转

针对运动电荷在磁场中的偏转这类问题的分析、解答，是高考命题中的一个热点，也是教学中的重点、难点。因为在这类问题中对物理过程的分析能力，电荷在磁场中：运动轨迹的想象能力均有较高的要求，因此在历届高考中考生的得分率都很低。为了更好地把握这类问题的教学，提高学生的解题能力，本文试就这类问题的题型特点及解答技巧作一些探讨。

高考要求：针对运动电荷在匀强磁场中偏转问题的复杂性，高考中只限于，带电微粒在匀强磁场中(只受洛

仑兹力)做匀速圆周运动，这种特殊情况的分析。

知识要求：

(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动所需向。心力由洛仑兹力充当：Bqv f =向

(2)粒子在磁场中运动时间的由θ=t 来确定，式中的θ为粒子的速度偏转 角度，通常借助数学几何

中有关“四点共圆’’的知识来确定，ω为粒子旋转的角速 度，由m Bq =ω来确定。

(3)圆心位置的确定：一般借助两确切位置速度垂线的交点；或一位置速度 的垂线和一条弦的中垂线

的交点，等办法来确定。

(4)轴道半径的确定：一般借助于几何知识或运用Bq mv R =来确定。

这类问题的多样性和复杂性主要来源于轨道半径和圆心位置的确定上，因此，这两个方面即是重点，又是难点。下面我就这类问题中有关由已知条件的变化，而引起的题型变化情况来探讨这类问题的解题规律。

一、单一圆心位置型

这类题目的特点是：不仅V 、B 的大小确定，而且粒子进、出磁场时速度的方向也唯一确定。于是就可以利用粒子进、出磁场时作其速度的垂线来确定圆心的位置，这样它就具有确定的圆心位置和轨道半径，属于基础题型。

【例题1】如图：一束电子(电量为e)以速度v 垂直射入磁感应强度为B ，宽度为d 的匀

强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是300

，则电子的质量和穿透磁场

的时间是多少．

【解析】电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆周的一部分，结合题目的

条件，在电子进入磁场的A 点和出磁场的B 点分别作其速度的垂线，其交点0即为圆心 分

别作其速度的延长线得交点C ，由几何知识可知;AOBC 这四点共圆，于是有AB 弧对应的圆心

角030=∠AOB ，0B 为半径R ， 又由几何知识可得;d d R 230sin 0==

由; R mv Bev 2= 有; v Bed m 2=

由; v

R t θωθ==, 有; v d t 3π=

【例题2】如图，三个同样的带电粒子，分别以速度1v 、2v 和3v 沿水平方向从同一点o 射入同一匀强

磁场中，且离开磁场时与水平边界线的夹角依次为0190=θ，0260=θ，0330=θ，(忽

略粒子重力)试计算： 粒子在磁场中运动时间之比，

【解析】这道题目与例题(1)属于同一类型，粒子进、出磁场时速度的方向都唯一确

定。我们可以采用同样的方法，分别得出它们做圆周运动的圆心01、02、03的位置和对+

应的偏转角900、600、300，由特征方程：R m Bqv 2ω=，有；m Bq =ω，由此可知，其运动的角速度相同．由ωθ=t ，有；t 1:t 2:t 3=3:2:1

二、圆心位置在一维空间上变化型

这类题目的特点是：粒子进入磁场时速度的方向是确定的，但速度的大小和B 的大小不确定，随着V 或B 大小的变化，粒子出磁场时的位置和速度的方向也随之变化，由于粒子进入磁场时速度的方向确定，尽管圆心的位置变化，但总在某一条直线(粒子进入磁场时速度方向的垂线)上变化，属于中等难度的典型

题。

【例题3】一个质量为m ，电量为q 的正离子从坐标原点0处沿y 轴正方向以初速度0v 射入一个边界为

矩形的匀强磁场中，如图，磁场方向垂直于xoy 平面向里，它的边界分别为0

1=y 、

a y =2，a x 5.11-=、a x 5.12=，改变B 的大小，粒子可以从磁场不同边界射出，

并且射出磁场后偏离原来速度的角度θ会随之改变，试讲述粒子可以从哪几个边

界射出，从这几个边界射出时B 的大小及偏转角度θ各在什么范围内?

【解析】1、由于正离子进入磁场时的速度方向沿y 轴的正方向，故这个正

离子在这个磁场中做圆周运动的圆心位置一定在x 轴的负半轴的某一点上。

2、由mv Bqv 2=，可知Bq mv R =，结合题目的条件，由于B 的大小发生变

化，将会引起R 大小的变化，我们不妨由R 从小到大逐渐变化的顺序来展开问题的

分析。当R 很小时这个正离子将从x 轴的负半轴射出磁场，如图中从b 、c 两点射

出的离子，这时的最大半径为R 1=0.75a ，如从c 点射出的离子，故有：qa mv B 34=，离子的偏转角度为0180=θ。

3、随着R 的逐渐增大，离子将从左边虚线边射出磁场，如图中从d 、e 两点射出的离子，这时的最大半径为R 2=a ，如从e 点射出的离子，这条轨迹的特点为与上边虚线边相切，其切点坐标为(-a 、a)，与左边虚线边相交，交点坐标为(-1.5a 、23a )．可知为了保证离子从左边虚线边射出，其B 应满足qa mv B qa mv 34≤≤，其偏转角度l200≤θ≤1800

4、随着R 的增大，离子将从上边的虚线边射出磁场，如从f 点射出的离子，出磁场的范围应在(-a 、a)此点之右(不包括该点)，此时，qa mv B <，090<θ。

启示：从以上的分析可以看出，不能B 怎样变化，总有一部分空间范围没有离子射出，那么又怎样确定这个范围呢，相关的条件如何?

【例题4】如图，长为L 的水平极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，极板间距离

也为L ，板不带电。现有质量为m ，电量为q 的正粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁

感线以速度0v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则速度0v 必须满足什么条件?

【解析】由于题目只给出了粒子进入磁场时的速度方向，而没有给出粒子进入磁场时的速度大小，由R mv Bqv 2=，得；Bq mv R =，再结合粒子进入磁场时的旋转方向。可确定其圆心一定在与其速度垂直的一条直线上，只是不能确定其具体的位置，由Bq mv R =可知R 随v 的增大而增大，

从而使其圆心距粒子进入磁场的位置越来越远，因题目只要求粒子不打在极板上，而没有规定

粒子射出磁场的范围，由几何知识可知，其偏转半径R 只须满足R>r 1如图中从d 、e 两位置射

出的粒子、或R

①当粒子从b 位置射出时，由几何知识有；2L r =，故粒子的速度应满足；m BqL v 4<

②当粒子从d 位置射出时，由几何知识21221)2

(L r L r -+=有；451L r =，故粒子的速度应满足；m BqL v 45> 综上所述：欲使粒子不打在极板上，粒子的速度应满足；m BqL v 4<或m BqL v 45>

思考：欲使粒子打在极板上，粒子的速度应满足什么条件?

三、圆心位置在二维平面上变化型：

这类题目的特点是：粒子进入磁场时速度v 的大小和B 确定，但速度的方向不唯一，根据R mv Bqv 2=可知，粒子做圆周运动的轨道半径是确定的，由于速度的方向不确定，导致其圆心的具体位置不唯一，属于难度较大的一类题目，在历届的高考中往往以所谓的压轴题出现。

【例题5】如图，半径R=10cm 的圆形匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点0，

磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里，在O 处有一放射源可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m ／s 的α粒子。已知α

粒子的质量m=6.64×1027kg ，电量q=3.2×10-19

C

(1)画出α粒子通过磁场空间做圆运动的圆心点的轨迹。