简单的优化模型

血管，分叉点附近两条血管共面；
2.物理上假设
体在刚性管道中的运动； 根据粘性流体在管道中流
动时所受的阻力定律知，血液流动时所受阻力与流程
成正比，与半径的4次方成反比。即血液流动时所受 L 阻力 R k 4 ，这里L为血管长度，r为血管半径，R r 为阻力，k为比例常数。
模型建立（机理建模法）
设主动脉与辅助动脉夹角为θ， PQ a , QR b 当血液沿着通路 PSR 流动时 所受阻力大小为
例 生猪出售的时机问题 一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力。 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤，目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪。 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长，但 售价随时间减少，应该存在一个最佳出售时机，使获 得利润最大，这是一个优化问题。
设计变量（决策变量） 目标函数 可行域
下的最大值或最小值，其中
x f (x ) x
min(or max) u f ( x) x
s. t. hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
MB M
为最小。其中
水陆联运问题 有一工厂A距运河为a公里， 运河线上的B城与运河上离A厂最近的点D为b 公里，今欲修一公路AC到运河边，将A厂的产 品经由公路运到C，再水运到B城，设每吨货物 每公里的水、陆运费分别 A 为α与β元（α>β）， D C B 问C的位臵应在何处才 b 能使运费最省（如图）
A M
Ⅰ
B Ⅱ
对于所有的值，f (x)的一、二阶导数都存在，并且 f ( x ) 0 ，于是 f ( x ) 在 ( , ) 上单调增加，所 以最多有一次等于零，但是 c c f ( 0 ) 0 f ( c ) 0 2 2 2 2 v2 b c v1 a c 所以方程 f ( x ) 0 在0与c之间唯一的根 x 0 ，又因 f ( x0 ) 0 因此，此根对应函数值 f ( x0 )为极小值， 也是最小值。但要从 f ( x ) 0 中求 x 0比较繁复，为 此，引入两角（物理学中分别叫入射角和折射角）
因此，鱼群规模控制在 x 0 时，可以使我们获得最大的 持续捕获量，此时
r h( x0 ) ( r 1) x0 x0 N
( r 1)2 ( r 1) N r ( r 1) 2 N ( r 1) N 2 4r 2r N 4r
2
( r 1)2 即最大持续捕获量为 N 4r
也即，当 1与 2 满足上式时，从A到B所需时间最少， 此结果就是光的折射定律：入射角 1 与折射角 2
的正弦比是一常数等于光在两种介质中的速率之比。
折射问题具有一定的代表性，如果抽去其实际意义， 折射问题可以概括为：设在直线L的两侧有A与B
两点，试在L上找一点M，使
AM
0, M 0 为两个不等常数，应用此数学模型，我 们可以解决与折射问题类似的许多实际问题。
n
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
例 血管分支数学模型 在生物学中，对于血管分支问题，要研究血 管分支处分支血管的半径及血管间夹角对血液 流动阻力的影响。有人研究发现，某种动物的 血管分支角度几乎是固定的。因此，就提出一 种假说，认为生物在长期进化过程中，血管的 几何形状向流动阻力最小的方面转变。试研究 血管分支处粗细血管半径的比例和分叉的角度 在阻力最小的原则下该取什么值。
课外阅读:蜂巢模型
Байду номын сангаас巢特性
• 蜂巢由一个个排列整齐的六棱柱形小蜂房组成，每个 小蜂房的底部由3个相同的菱形组成，这些结构与近代 数学家精确计算出来的——菱形钝角109o28’，锐角 70o32’完全相同，是最节省材料的结构，且容量大、极 坚固，令许多专家赞叹不止。人们仿其构造用各种材 料制成蜂巢式夹层结构板，强度大、重量轻、不易传 导声和热，是建筑及制造航天飞机、宇宙飞船、人造 卫星等的理想材料。蜜蜂复眼的每个单眼中相邻地排 列着对偏振光方向十分敏感的偏振片，可利用太阳准 确定位。科学家据此原理研制成功了偏振光导航仪， 被广泛用于航海事业中。
解 设当前鱼群的总数为x公斤，经过一年的成长的 繁殖，第二年鱼群的总数变为y公斤。 如果鱼群的自然增长率为r，一般的可以简单的认 为 y rx ，但是，由于自然资源的限制，当鱼群数量 过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群增长率的降 低，为此，需要对 y rx 进行修正，
，由此可以 x 时，增长率应为零，即 N r x N 0 通过修正因子 （此修正因子对鱼群增长率起 1 x / N x 阻滞作用）对 y rx(1 ) y 进行修正，即 rx N 则当
x sin 1 a2 x2
c x sin 2 b 2 (c x )2
x c x 由方程 f ( x ) 0 即 v a 2 x 2 v b 2 (c x )2 1 2
可得
sin 1 sin 2 v1 v2
即
sin 1 v1 sin 2 v 2
s. t.
subject to
“受约束于”之意
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。 2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。 3.根据目标函数和约束条件表达式的性质
线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
（1）非线性规划(NLP non-linear Programming )
AM MB a2 x2 b 2 ( c x )2 t f ( x) v1 v2 v1 v2
现在求t的最小值，由于
x c x f ( x ) 2 2 v1 a x v 2 b 2 ( c x ) 2 a2 b2 f ( x ) 3 3 2 2 2 2 2 v2 b (c x ) 2 v1 ( a x )
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f ( x) x
s. t. hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
（2）线性规划（LP Linear Programming ）
第二章 简单优化模型 优化问题是人们在工程技术、经济管理和 科学研究中最常用的一类问题，设计师要在满 足强度要求的条件下选择材料的尺寸，使结构 总重量最轻；管理人员要根据生产成本和市场 需求确定产品价格，使利润最高；投资者要选 择投资品种使收益最大，风险最小。这些需要 决策者在可供选择的策略中做出抉择，选择最 佳策略问题即为优化问题，描述优化问题的模 型为优化模型。
问题：一条粗血管在分支处分出一条细血管
现假设主动脉A从心脏引出，现在P和Q之间的某
个地方设臵一辅助动脉，以便心脏把营养送给在R
处的一个器官，问接头点S应在何方，方能使得血液 沿着通路流动时，阻力R最小？
R b P S a Q
模型假设
1.几何上的假设
一条粗血管在分支处分出一条细 把血液在血管中的流动视为粘性流
R

(a bctg ) b R( ) k k 4 4 r1 r2 sin
b
Q
P
(0

2
, r1 r2 )
S a
ka kb kb 下面求 R( ) 最小值 R( ) 4 4 ctg 4 csc r1 r1 r2
所以
kb 2 kb R( ) 4 csc 4 csc ctg r1 r2
优化模型的特点
• 它们的特点就是：在若干可能的方案中寻求某 种意义 下的最优方案。数学上称为最优化问题,而研究 处理这种问题的方法叫最优化的方法。 • 优化模型是一类既重要又特殊的数学模型，而 优化建模方法是也一种特殊的数学建模方法。 优化模型一般有下面三个要素： • (1) 决策变量，它通常是该问题要求解的那些 未知量。 （2 )目标函数，通常是该问题要优化（最大或 最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变 量的函数。 （3）约束条件，由该问题对决策变量的限制条 件给出。
解 因为1吨产品从A厂经 公路运到C，再由C水运到B 城的运费为 BC AC 即
BC AC 1 1
A
D
C
b
B
根据题意，要确定C的位臵使上述表达式值最小，这 显然是一个折射问题。
DC x ，则 BC b x , 2 90 设
sin 1 1 / sin 90 1 /
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n aij x j bi , i 1,2,..., n. s.t. j 1 x 0.i 1,2,..., n. i
所以 sin 1
x x 由 sin 1 从而有 2 2 2 2 a x a x a a 解得 x 2 2 只要 b 2 2
a 就应修公路到C点，其中C点到D点距离为 2 2
例 鱼群的适度捕捞问题 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意 适度开发不能为一时的高产去过度捕捞，应该 在持续稳产的前提下追求产量或最优经济效益 现考查一个渔场，其中的鱼量在天然环境下 按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量， 那么渔场鱼量保持不变，这个捕捞量就可以持 续，因此捕鱼时必须对捕捞量进行适度控制， 问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得 最大的持续捕获量？
1 1 kb csc 4 csc 4 ctg r2 r1 4 r2 1 1 令 R( ) 0 即 4 csc 4 ctg 0 得 cos 4 r1 r2 r1
r24 所以当 0 arccos 4 时， r1 通路 PSR 上血液流动阻力最小，此时S点距P点相距
a bctg
例 光线的折射问题 设有Ⅰ与Ⅱ两种介质,以L为
分界线,光在介质Ⅰ与介质Ⅱ中的传播速度分别
为 v1和v2 ,问光线由介质Ⅰ中一点A到介质Ⅱ中的一
点B,应走哪一条路线？
A M Ⅱ Ⅰ
B
解设a与b分别为A.B两点到直线L的垂线并记作自变 量，光线从A经M到B所用时间为t, Ａ的垂足到Ｂ的垂 足的距离为c，x为垂足到Ｍ点的距离，则
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f (x)
和
x ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
在约束条件 hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
在此不妨假设自然环境所能负荷的最大鱼群数量为N，
当每年的捕获量为 h( x ) 时，则第二年的鱼群总量为 x y rx(1 ) h( x ) N 如果要限制鱼群总量保持在某一数值x，即 y x 则 x rx(1 ) h( x ) x N x r 2 h( x ) rx(1 ) x ( r 1) x x N N 2r ( r 1) N 由 h( x ) ( r 1) x 0 得驻点 x0 N 2r ( r 1) N 2r 由于 h( x ) 0 所以 x0 为极大值点 2r N
目标函数和所有的约束条件都是设计变量
的线性函数。
min u ci xi
i 1
n
aik xk bi , i 1,2,..., n. s.t. k 1 x 0, i 1,2,..., n. i
n
（3）二次规划问题(QP
Quadratic Programming)