对偶问题与灵敏度分析

第一讲 对偶理论
对称形式下原问题与对偶问题的对应关系
Max Z Min W
x1
a11
a21 a31 a41
x2
a12 a22 a32 a42
x3
a13 a23 a33 a43
≤ ≤ ≤ ≤
x3 ≥ 0
b1 b2
y1 y2 y3 y4
b3
b4
yi ≥ 0
c1
c2
c3
一般形式下对偶关系对应表
目标函数类型 目标函数系数与右 边项的对应关系
对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式：变量均为非负，其约束条件当目标函数求极 大时均取“≤”，当目标函数取极小时均取“≥”。
线性规划原问题（P）
Max Z= c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤ b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm x1,x2,…,xn ≥0
第一讲 对偶理论
对偶单纯形法——应用于对称形式
• 适用于：
Min Z = CX AX ≥ b S.t. X≥0 C ≥0 化标准形时对约束条件两边乘以 -1，且目标函数的系数皆为≤0.
• 对偶单纯形图表计算步骤：
(1) 列出初始单纯形表，得初始基解，要求所有的检验数 ≤0. (2) 检验b列，若所有的b ′=B-1b ≥0,则得到最优解。若b i′<0且b i′所在 行的各系数aij ≥0,则原规划无可行解；否则取 Min{b i′ |b i′<0}=bl, 则相应的xl为离基变量。 (3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复 (2).
• 对偶问题的最优解： y1*=0，y2*=1/2，y3*=1，W* =42 • y2*=1/2 表示设备B的影子价格为1/2元/台时，说明该厂在当前 的生产和利润情况下，每增加设备B一台，利润会增加1/2元。 • 影子价格不是固定不变的，它因企业生产资源与利润的不同 而不同，而市场价格是已知且相对稳定的。一般地，当某种 资源(设备)的市场价格高于影子价格时，可将资源出租或转 让。反之，应该从市场买进该种资源，以获得更大的利润。
第一讲 对偶理论
练习:求对偶模型
Max Z = x1 +2x2- 3x3+ 4x4 -x1 + x2 -x3 - 3x4 = 5 S.t. 6x1 +7x2 -x3+ 5x4 ≥ 8 12x1 - 9x2 +7x3+6x4 ≤ 10 x1 ≥0, x3 ≥ 0, x2 , x4 无限制
第一讲 对偶理论
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题) Max Min
目标函数系数 右边项系数 右边项系数 目标函数系数
变量数与约束数的 对应关系
原问题变量类型与 对偶问题约束条件 的对应关系 原问题约束类型与 对偶问题变量类型 的对应关系
变量数 n 约束数 m ≥0 变量 ≤0 无限制 ≤ 约束 ≥ =
约束数 n 变量数 m ≥ 约束 ≤ = ≥0 变量 ≤0 无限制
主 元
-8
-12
x2 0 1 0
-
-36
x3 -3 2 -12
4
0
x4 1 0 0
-
0
x5 0 -1/2 -6
-
b
-3 5/2 30
x1 -1 0 -8
8
-12
x2
检验数j 比值
-36 x3
1 1/2 42
1/3 -2/3 -4
0 1 0
1 0 0
-1/3 2/3 -4
0 -1/2 -6
-12
x2
第一讲 对偶理论
原问题最优单纯型法表
Cj
CB XB b
3
5
0
0
0
x1
0 0 1 0
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
2/3 1/2 -2/3 -1/2
x5
-1/3 0 1/3 -1
0 5
x3 x2
4 6 4 -42
3
x1
检验数j
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1 对应于原问题最优 单纯型法表中，初始基变量x3 , x4 , x5的检验数的负值。
第一讲 对偶理论
例:写出对偶模型
Min Z= 5x1 +3 x2- x3 x1 - x2 +2 x3 ≥ 5 S.t. 4x1 +x2 - x3 ≤10 x1 + x2 - x3 = 4 x1 ≥0, x2 ≤0, x3 无限制 Max W= 5y1+10y2+4y3 y1+ 4y2+ 1y3 ≤ 5 S.t. -y1+ y2+ y3 ≥ 3 2y1 - y2 - y3 =-1 y1≥0, y2≤0, y3 无限制
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
Max W′= -8x1-12x2-36x3+0x4+0x5 -x1 - 0x2 - 3x3 +x4 =-3 0x1 -2x2 - 4x3 +x5= - 5 S.t. x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
若原问题的价值系数Cj表示单位价格，则 yi *称为影子价格。 若原问题的价值系数Cj表示单位利润，则 yi *称为影子利润。
第一讲 对偶理论
• 特别注意
• 影子价格不是资源的实际价格 ( 市场价格 ) ，而是资源配置结 构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下对现有资源实现 最大效益时的一种估价；它表明资源增加对总效益产生的影 响。 • 对资源i总存量的评估：购进 or 出让 • 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少 ①它表明了当前的资源配置状况，告诉经营者应当优先增加 何种资源，才能获利更多。 ②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
• 称后一个线性规划问题为前一个线性规划问题的对偶问题。 • 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =42 • 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题 实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原 问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 • 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中“初始基 变量的检验数的负值”。
第一讲 对偶理论
单纯形法的思路
• 确定初始可行基，初始基可行解 (每个分量非负)。 • 判断是否最优，是否有所有(非基变量)检验数 ≤0(Max)。 • 基变换。
对偶单纯形法的思路
• 从原规划的一个对偶可行解( ≤0)出发，(从原规划的一个基解出 发，此基解不一定可行，但它对应者一个对偶可行解即检验数非 正)，且 保持其对偶变量的解为可行解。 • 检验原规划的一个基解是否为基可行解，即是否有负的分量。 若是基可行解，即b ′=B-1b ≥0，则为最优解， • 否则进行基变换，得另一个基解，此基解对应着另一个对偶可行 解。重复(2)。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x +4 x ≤36 1 2 x1 , x2 ≥0 Min W= 8y1+12y2+36y3 y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5 y1，y2，y3≥0
第一讲 对偶理论
例题:已知线性规划问题
Min Z = x1 - x2 +x3 x1 -x3 ≥ 4 S.t. x1 -x2 +2x3 ≥ 3 x1 , x2 , x3 ≥0 证明：此问题的对偶问题为： Max W = 4y1 + 3y2 y1 + y2 ≤ 1 S.t. - y2 ≤ -1 -y1 + 2y2 ≤ 1 y1 , y2 ≥0 试用对偶理论证明 此线性规划问题有 无界解(即有可行 解，但无最优解)。
Cj CB 0 0 0 XB x4 x5 x6 -1
Max Z = -x1-2x2-3x3 -2x1 + x2 - x3+x4 =-4 x1 +x2 +2x3 + x5 =8 S.t. x2 – x3 +x6= 2 x1, x2, x3 , x4, x5, x6 ≥0
第一讲 对偶理论
三、对偶问题的经济解释——影子价格
Z c j x j bi yi W
* * * j 1 i 1
n
m
*
此时，同时达到最优解
Z * yi bi
*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明 yi是右端项 bi每增加一个单位的第 i种资源对目标函数 Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 • 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
第一讲 对偶理论
第二个问题：出让定价
• 假设出让设备A、B、C所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行 生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有对甲产品 y1+0y2+3y3 ≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3 ≥ 5 • 设备台时出让的收益（租用企业希望出让的收益最少值） Min W =8y1+12y2+36y3 • 显然还有 y1，y2，y3 ≥0
主 元
列初始单纯形表
Cj CB XB -8 -12 x2
-36 x3
0 x4
0 x5
b
-3 -5 -5
0
x1
0
0
x4
x5
-1
0wk.baidu.com-8
-
0
-2 -2 -12
6
-3
-4 -36
9
1
0 0
-
0
1 0
-
检验数j 比值
•
x5为出基变量，x2为进基变量
第一讲 对偶理论
• 对偶单纯形法(续)
Cj
CB 0 XB x4
对偶问题（D）
Min Z= b1y1+b2y2+…+bmym a11y1+a21y2+…+am1ym ≥ c1 a12y1+a22y2+…+am2ym ≥ c2 …………… a1ny1+a2ny2+…+amnym ≥ cm y1,y2,…,ym ≥0
第一讲 对偶理论
对称形式下对偶模型的特点
• • 若原问题为极大，则对偶问题为极小； 对极大的原问题，其约束条件为≤，而极小化的对偶问题的 约束为≥； • 原问题的变量个数即为对偶问题的约束条件的个数，而原问 题的约束条件的个数，即为对偶问题的变量的个数； • 原问题的约束条件的右端常数项即为对偶问题的目标函数中 变量的系数，而原问题的目标函数中变量的系数即为对偶问 题的约束条件的右端常数项。
检验数j 比值
•
此时b列皆非负且所有的非基变量检验数j≤0，得最优解Y*=(0,1/2,1,0,0)T, 最优目标函 数值W′= -42, W=42. .
第一讲 对偶理论
• 习题：用对偶单纯形法求解：
Max Z = -x1-2x2-3x3 2x1 - x2 + x3 ≥ 4 x1 +x2 +2x3 ≤8 S.t. x2 – x3 ≤ 2 x1，x2，x3≥0
二、对偶问题的基本性质
• 对称性： 对偶问题的对偶是原问题。 • 弱对偶性： 若X0为原问题(P)的可行解，Y0是对偶问题(D)的可行解，则 CX0 ≤Y0b。 • 最优解： 若X*为(P)的可行解，Y*是(D)的可行解，且CX*=Y*b，则 X*， Y* 分别为最优解。 • 强对偶性 若(P)有最优解，则(D)也有最优解；反之亦然，且两者目标 函数相等。
第三章 对偶问题与 灵敏度分析
第一讲 对偶理论
第二讲 灵敏度分析
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
产品 车间 A B C 单位产品获利 工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5 生产能力 8 12 36
• 例1中该厂的产品销售，现有另一企业想租赁其设备。 厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用 的最低价码，以便衡量对方出价，对是否出租做出 抉择。
第一讲 对偶理论
例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x + 4x ≤36 1 2 x1 , x2 ≥ 0 Min W= 8y1+12y2+36y3 y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5 y1 ， y2 ， y3 ≥ 0