广义相对论简介

3．广义相对论的简介洛伦兹变换告诉我们，时间与空间有内在联系。“能量动量张量”的表达式和“质能关系式表明，质量与运动不可分割，真空光速不变原理和相对性原理告诉我们，一切惯性系平权。所以绝对时空的概念被Einstein抛弃了。抛弃绝对时空导致了一个新的困难：惯性系如何确定？

不仅如此，万有引力不能纳入相对论的框架。

在对以上两个问题的反复思考下，Einstein提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。

（1）狭义相对性原理 一切惯性参考系都是平权的。基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理。

（2）一切惯性参考系内，任意参考者测量光速都是c。

（3）等效原理。

1907年，Einstein在《关于相对论原理和由此得出的结论》一文中，作出了关于引力对时钟的影响及引力红移的预言。他根据引力场与惯性力场等效的思想得出，一个处于引力场中的时钟，当所在点引力势为Ф时，它所指示的当地时间读数将是与它调准的不处在引力场中的同样读数的（1+Ф/c2）倍。“在这个意义上，我们可以说，在过程发生地点的引力势愈大，在时钟中发生的过程——一般说来是任何物理过程——也就进行得愈快。”[1]同样的结论在1911年4月所发表的《引力对光传播的影响》一文中也给出了。在这篇论文中，Einstein从等效原理出发，得出了光从无引力场的真空中的频率ν0到

引力势为Φ中的频率ν的变化与引力势间的关系是ν=ν0(1+Φ/c2)，这与引力场中时钟读数的变化一致；同时结合波传播的惠更斯原理，得出光在经过引力场时传播方向发生朝向天体偏折的结论，偏折角为以后实际测量结果和广义相对论计算结果的一半。在这篇论文中，Einstein根据等效原理还论证了静态引力场的光速不是常数，处于引力场为Φ的场中光速为c与真空中光速c0的关系是c=c0(1+Φ/c2)。半年后，亚伯拉罕首次把这个结论推广到非静态场中，他尝试后发现把非恒定光速的思想推广到狭义相对论是不可能的。亚伯拉罕对此评论说：“c的可变性意味着洛伦兹群只能在无限小区域中成立。”这一论断后来被Einstein马上发现[2]。

对于Einstein来说，1907——1908年，是广义相对论的初创阶段。直到1911年，Einstein还没有放弃牛顿的引力论，只是在旧理论上点缀了“等效原理”，弄成了东拼西凑的混合物，得出的结论在量上不可能是精确的。Einstein在1912年2月和1912年3月接连准备好了两篇关于引力的文章，提出的都是时间弯曲而空间平直的模型；还提出了光速在引力场中不是常数，等效原理只对无限小的场成立，引力场能量密度带来的引力场的非线性等观点。

从1912年8月Einstein回到苏黎士以后的一年多的时间里，他与格罗斯曼合作，先后发表了三篇文章，这些文章标志着广义相对论发展过程的重要阶段。其中第一篇论文《广义相对论纲要和引力论》发表于1913年。在这篇论文中，Einstein在他的新思想与相适应的数学方法相结合上作了第一次尝试。但是，有两个问题值得注意，第一

个是论文中给出的场方程KΘμν=Γμν不是普遍协变的，它的协变关系仅只在线性变换中才能成立。然而广义协变性原理却要求在任意变换下的协变性。而且，在无限弱的静止引力场的特殊条件下，场方程的一级近似应该退化为牛顿引力定律的形式。第二个问题是后来发现的，由它给出的结果不能与水星近日点进动的观测值相符。存在这两个问题的根本原因在于，Einstein为了坚持守恒定律限制了坐标系的选择，为了维护因果性，放弃了广义协变性的要求。因为他认为如果把拉普拉斯算符作用到张量gμν上时，这个算符会退化，因此要求引力场方程只对一个确定的变换群协变。同时，他还认为，对任意坐标系变换都保持协变的引力定律，与因果原理矛盾。

Einstein的这个失误，使他又花了近两年的艰苦努力。在这期间，亚伯拉罕，米，诺茨屈劳姆就引力问题曾与Einstein展开了讨论，这对引力理论的发展起了重要的推动作用。诺茨屈劳姆的理论是一个标量理论，而且可以在闵可夫斯基空间中得到理解，被称为是狭义相对论性引力理论，其中空间是弯曲的，但具有平坦闵可夫斯基坐标“映象”这一人为限制。在这个理论中，引力质量正比于系统的总质量，等效原理是统计原理。不过这个理论不能预言光线在星体引力场附近的偏折。

1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；

Einstein —格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲。 1.广义坐标变换

设一个时空区域同时被旧坐标系()3210x x x x x ,,,μ和新坐标系

()

3'2'1'0x'x x x x ,,,'μ所覆盖，其中','ct x ct x 00==，c 是光速，t 与t ’是时间。

新旧坐标之间的关系可表示为

()

)(',,,a 3210x x x x x x x'x'μμμ== ),,,,(3210a =μ （1）

每一个新坐标都是四个旧坐标的函数。

微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系

),,,,(''3210dx x

x dx =∂∂=νμν

νμμ

（2）

这里采用了Einstein 惯例。 （2）的逆变换为

),,,,('3210dx x'

x dx =∂∂=νμμ

μ

νν

（3） 定义在坐标变换中不变的量为标量。

在广义坐标变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，

),,,,(''3210A x

x A =∂∂=νμννμ

μ

（4）

在广义坐标变换下，变换规律为

),,,,('

'3210A x x A =∂∂=νμνμν

μ （5）

的量称为协变矢量。容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成。 在广义坐标变换下按