线性代数_课件

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五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：

(
p1 p2... pn )

(
pn
pn1... p1)

Cn2

n(n 1) 2

(
pn
pn1... p1)

n(n 1) 2

k
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例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
解：由于a13a2ia32a4k前面取正号，所以排列3i2k 为偶排，故 i 1, k 4
1) 主对角行列式
1 2 ... (n 2) (n 1)
1
0
...
0
2
...
... ... ...
0 0 ...
n (n 1) 2
12...n
0 0 ... n
2) 次对角行列式
0 ... 0 1
0 ...
... ...
2
...
0 ...
n (n1)
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简记为det(aij )。数aij称为行列式det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个特殊的行列式
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1. 对角行列式
( p1 p2... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
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定理2：n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的 个数相等，各有 n!/2 个。 定理3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对换 变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排 列有相同的奇偶性。
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四、行列式的等价定义
a11 a12 ... a1n D a21 a22 ... a2n
(2)
设新的行下标排列的逆序数为 r
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则
r (1...i... j...n)
新的列下标排列的逆序数为1，
则
1 ( p1... p j... pi... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排
列的逆序数1与原列下标排列的逆序数 的奇
偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有：
当k为偶数时,k 2为偶数,当k为奇数时,k 2为奇数。
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第二节 n阶行列式的定义
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一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann
(1) 2 12...n
n ... 0 0
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2.三角行列式 1) 下三角行列式
a11 0 ... 0
a21 ...
a22 ...
... ...
0 ...
a11a22...ann
an1 an2 ... ann 2) 上三角行列式
a11 a12 ... a1n
0 ...
为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的逆
序数为0，于是该排列的逆序数为
(n 1) (n 2) ... 1 0 n(n 1)
2
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例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8}
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，
并冠以符号(-1)τ，得形如
(1) a1p1a2 p2 ...anpn
(1)
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
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排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
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3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法：
不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规 定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个 自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2 (1) a1p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...

(1) a1p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
an1 an2 ... ann
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证一般情况，设：
a1...al bb1...bm ab ab1...bm
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把上述对换分解成为： (1)bb1...bm (2)bab1...bm (3)ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相 邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1) 而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列 的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性 就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
(1)1 (1) (1) (1)r1
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn (1)1r a1p1 ...a jpj ...aipi ...anpn
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这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
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pi 这个元素的逆序数是 i，即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n
就是这个排列的逆序数。
例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。
解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆
序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数
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二、三阶行列式
第一节 全排列及其逆序
数
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一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
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设a1...alabb1...bm ab a1...albab1...bm
(a1...alabb1...bm ) k
当
a a

b b
(a1L albab1...bm ) k 1 (a1L albab1...bm ) k 1
由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再


注：
该定义称之为对角线法则。
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二、全排列与逆序数
1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做 这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素 之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数， 可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排 列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
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§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数
§1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1） §1.4 行列式性质（2） §1.5 克莱姆法则
又若 pi j，则q j i(即aipi aij aqj j )，由此可见
排列 q1q2...qn 完全是由排列 p1 p2...pn所唯一确定。
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...

(1) a a q11 q2 2...aqnn
... ... ... ...
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann

(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1) 1 2 a a l1s1 l2s2 ...alnsn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
的逆序数, 并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
(2k 1) 的逆序数为 2k 3 ；2 的逆序数为0
(2k 2) 的逆序数为 2k 5 ；3 的逆序数为0
............
(k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0

1 3 ... (2k 1) k 2
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素
的位置，使列下标排列由 p1 p2...pn (逆序数为 )
变为自然排列 (逆序数为 0 )；则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列，设此新
的排列为 q1q2...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
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奇偶性相同，且有
(1) a1p1a2 p2 ...aipi ...anpn (1)s a a q11 q2 2...aqj j ...aqnn
an,1 0 0 0
4) 次下三角行列式
0 ... 0 a1,n
0 ...
... a2,n1 ... ...
a2,n ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
an,1 ... an,n1 an,n
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三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素，排列 改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步 来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。
当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列
127435689的逆序数为5，即为奇排列
当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列
127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
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例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，求pn…p3 p2
p1的逆序数（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列）
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann

(1)
1

2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
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例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解：(1) (13 pq) a11a23a3 pa4q , pq为24的全排列
所以：(1) (1324) a11a23a32a44 a11a23a32a44 (1) (1342) a11a23a34a42 a11a23a34a42