指数与指数幂的运算

解： 1. 3 (8) 3 8; 2. 3. 4.
4
例1 求下列各式的值 1. 3 3
( 8) ;
2. (10) 2 ; 3. 4 (3 ) 4 ; 4.
( 10 ) 2 | 10 | 10;
(3 ) 4 | 3 | 3; (a b) 2 (a b).
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂
探究:
5 10 5
a
10
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
学习目标
1. 在熟练掌握正整数指数幂运算的基础上， 理解并掌握分数指数幂、有理数指数幂、 无理数指数幂的运算性质； 2. 在学习中注意对于不同情况指数幂的运 算采取不同的措施，注意偶次方根的两 种不同情况.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即 an=a· a· · · ·· a n个 正整数指数幂的运算法则有五条： 1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 另外，我们规定：
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3

a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂
无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
解: 5 6 53 6 125 ,
3
11 6 112 6 121,
又 121 123 125, 6 121 6 123 6 125. 所以 5 6 123 3 11.
练习2 : 化简
a 8a b 4b 23 ab a
2 3 2 3
4 3
2 3
1 2
3
1 2
a ;
2 3
7 2
a2 3 a2 a2 a a
1 1 3 2
2
a3 a (a a ) (a ) a .
4 1 3 2
a ;
2 3
8 3
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
r r r
•； https://weibo.com/u/5044679351
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习 1:比较 5, 3 11, 6 123 的大小 .
3.(am)n=amn；
4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
x n a ; (当n是奇数)

a 2b a
1 3 1 3
a
1 3
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a [( a ) (2b ) ] 4b 2a b a
2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3

2 3
a
1 3
a 2b
1 3 1 3 1 3 2 3
1 3 1 3
a
1 3

a [( a ) (2b )]( 4b 2a b a ) 4b 2a b a
1 2
我们规定正数的正指数 分数幂 的意义是: a n a m (a 0, m, n N * , 且n 1).
m n
4
c 5 c (c 0).
5 4
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
(1)a a a
r s
rs
(a 0, r , s Q)
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
1 3
(1 23
b ) 3 a. a
解: a 8a b 4b 23 ab a
1 3 2 3 2 3 1 3 4 3 1 3
(1 23
1 3
b 3 ) a a
1 3
a (a 8b) 4b 2a b a
2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 3 1 3 3
x a
n
x n a . (当n是偶数,且a＞0)
让我们认识一下这个式子: 根指数
n
根式
a
被开方数
探究:
a n 表示an的n次方根,等式 n a n a 一定成立吗? 如果不一定成立,那么 n a n 等于什么?
n
n
a, (当n为奇数) an a, a 0, | a | a, a 0.(当n为偶数)