功率谱估计方法综述

功率谱估计方法综述：
简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。

尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。

信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。

功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。

背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。

功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。

非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计方法
一、非参数化方法（经典法）
经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。

1、自相关法
又称相关函数法(BT法)，根据维纳—辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的．这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换，得到功率谱。

由于随机序列{X(n)}的自相关函数R(n)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为错误！未找到引用源。

，可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为错误！未找到引用源。

等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值错误！未找到引用源。

即
错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

可有式得到。

Fs=500; %采样频率
n=0:1/Fs:1; %产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+ randn(size(n));
nfft=512;
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数，matlab函数 xcorr（求自相关函数）unbiased无偏
CXk=fft(cxn,nfft); %对cxn（即自相关函数）进行快速傅里叶变换，nfft为周期Pxx=abs(CXk); %对CXk（频谱）取绝对值（为什么取绝对值）
index=0:round(nfft/2-1); %计算出各点对应的功率谱
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
2、周期图法
周期图法是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得x(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。

Matlab代码示例2：
Fs=600;%采样频率
n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
nfft=512;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法计算功率谱密度，xn为功率谱密度信号，window为窗口，nfft为采样点数， fs采样频率
plot(f,10*log10(Pxx));
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法
figure(1)
plot(f,10*log10(Pxx));
3、平均法
即Bartlett平均周期图法，是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均．将长度为N的数据分为L段，先对每段数据用周期图法进行谱估计，然后对L段求平均得到长度为N的数据的功率谱．
平均法可视为周期图法的改进。

周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果错误！未找到引用源。

是不相关的随机变量，且都有个均值错误！未找到引用源。

及其方差错误！未找到引用源。

，则可以证明它们的算术平均的均值为错误！未找到引用源。

即：平均法将错误！未找到引用源。

的N个数据分成L段（N=ML），若各数据段相互独立，则平方后估计量的方差是原来不分段估计量方差的错误！未找到引用源。

所以当错误！未找到引用源。

时，估计量的方差趋于0，达到一致估计的目的。

但是，随着分段数L的增加，M点数减少，分辨率减少，使估计变成有偏估计。

相反，若L减少，M增加，虽偏差减少，但方差增大。

所以，在应用中，必须兼顾分辨率和方差的要求来适当选择M和L的值。

Matlab代码
fs=600;
n=0:1/fs:1;
xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));
nfft=512;
window=hamming(nfft);%矩形窗
noverlap=0;%数据无重叠
p=0.9;%置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
figure(2)
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);
Bartlett法方差的改善是以牺牲分辨率为代价的．
4、welch法
Welch法又称修正周期法，Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并在周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。

二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。

Welch法谱估计是在上述基础上进行了改进，目的是在保持Bartlett法方差性能的同时，改善其分辨率。

其基本原理是先对随机序列分段时，使每一段有部分晕叠，然后对每一段数据用一个合适的窗函数进行平滑处理，最后对各段谱求平均。

Matlab代码
Fs=600;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));
nfft=512;
window=boxcar(100);%矩形窗
window1=hamming(100);%海明窗
window2=blackman(100);%blackman窗
noverlap=20;%数据无重叠
range='half';%频率间隔为[O Fs/2]，计算一半的频率
[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxxl,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);
plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxxl=10*log10(Pxxl);
plot_Pxx2=10+log10(Pxx2);
figure(1)
plot(f,plot_Pxx);
figure(2)
plot(f,plot_Pxxl);
figure(3)
plot(f,plot_Pxx2);
函数说明 （pwelch ）[Pxx,F] = pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs)
x, 为进行功率谱估计的输入有限长序列 window ，用于指定采用的窗函数(boxcar, hamming, blackman) noverlap ，重叠点数 nfft ，设定FFT 算法的长度 fs, 采样频率 Pxx ，为输出的功率谱估计值 F ，为得到的频率点
综述：
从给出一段信号y=cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*100*n),利用经典谱估计法的原理，通过不同的谱估计方法，求出信号的功率谱密度函数，并利用GUI 界面呈现出不同谱估计方法所得的结果。

BT 法：BT 法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值错误！未找到引用源。

由式错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

估算出错误！未找到引用源。

，再对错误！未找到引用源。

作FFT 变换，得到错误！未找到引用源。

周期图法：周期图法是根据各态历经随机过程功率谱的定义来进行谱估计的。

获取x(n )后，对x(n)作FFT 得到X(W)，再由错误！未找到引用源。

得出功率谱。

平均法：平均法可视为周期图法的改进。

周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的。

获取x(n)后，将x(n)分为10段，对每段用错误！未找到引用源。

计算出周期图，对以上10个周期图加以平均得出功率谱。

Welch 法：Welch 法又称修正周期法，获取x(n)后，先将N 个数据分成L 段，选择汉明窗w(n )，并用该w(n )依次对每段数据做相应的加权，确定每段的周期图
()21,(1)1
(),1,2,```,Ml j n M l n n M l G w x w n e l L MU ω--=-==∑
由()(),1
1L
M M l l G w G w L ==∑得出每段谱估计。

二、参数化方法（现代法）
AR 模型功率谱估计（仅举此一种）
AR 模型功率谱估计又称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR 模型进行功率谱估计须通过levinson_dubin 递推算法由正则方程求得AR 的参数,在Matlab 仿真中可调用Pburg 函数直接画出基于burg 算法的功率谱估计的曲线图。

用周期图法求出的功率谱曲线和burg 算法求出AR 功率谱曲线。

Matlab 代码
用周期图法求出的功率谱曲线和burg 算法求出的AR 功率谱曲线(p=50)
fs=200;
n=0:1/fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));
nfft=512;
[pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,fs);
subplot(1,2,1);
plot(f,10+log10(pxx))
xlabel('frequency(hz)');
ylabel('power spectral density(Db/Hz)');
title('periodogram pse estimate');
orderl=50;
range='onesided';
magunits='db';
subplot(1,2,2);
pburg(xn,orderl,nfft,fs,range)
总结
常见谱估计法的比较
通过实验仿真可以直观地看出以下特性：(1)功率谱估计中的相关函数法和周期图法所得到的结果是一致的，其特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高。

(2)平均周期图法和平滑平均周期图法的收敛性较好，曲线平滑，估计的结果方差较小，但是功率谱主瓣较宽，分辨率低。

这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的Gibbs现象而造成的。

(3)平滑平均周期图法与平均周期图法相比．谱估值比较平滑，但是分辨率较差。

其原因是给每一段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果的同时，使功率谱的主瓣变宽，因此分辨率有所下降。

经典功率谱估计的分辨率反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率可以不受此限制。

这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)。

虽然其估计出的自相关函数也是有限长的。

但是现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，不象经典谱估计那样受窗函数的影响。

因而现代谱的分别率比较高，而且现代谱线要平滑得多。

Matlab中有很多内置的信号处理的专用函数，在此举一下几个常用的信号处理函数：
信号处理函数
conv 卷积
conv2 2维卷积
fft 快速富里哀变换
fft2 2维快速富里哀变换
ifft 逆快速富里哀变换
ifft2 2维逆快速富里哀变换
filter 离散时间滤波器
filter2 2维离散时间滤波器
abs 幅值
angle 四个象限的相角
unwrap 在360°边界清除相角突变
fftshift 把FFT结果平移到负频率上
nextpow2 2的下一个较高幂次
参考文献：
印勇随机信号处理教程北京邮电大学出版社2010 朱冰莲数字信号处理电子工业出版社 2011
王春兴基于MATLAB实现经典功率谱估计[期刊论文] 王春兴基于MATLAB实现现代功率谱估计[期刊论文]。