第五讲02-非完整体系的拉格朗日方程

非完整体系的拉格朗日方程

理想约束、完整体系的拉格朗日方程：第二类拉格朗日方程

理想约束、非完整体系（非完整约束—微分约束）的拉格朗日方程：第一类拉格朗日方程

对于线性微分：设体系受到k外还受到m个微分约束，约束方程为：

Or

对于完整体系的拉格朗日方程是从达朗贝尔方程中消去非独立坐标，将k个完整约束条件带入达朗贝尔方程后得到：

如果系统没有其他不可积分的微分约束，则上式中的3S

n k =-个q α是相互独立的，若使上式

成立，则q αδ前面的系数为零，从而得到完整体系的拉格朗日方程。

若此时系统还受到m 个（不可积分的）微分约束，则上式中的S 个q α不是相互独立的，独立的广义坐标数目应为S

m -。

上式是对于完整体系下的虚位移，对于非完整体系： 体系作虚位移时：

用时间t的任意函数()

l

t

λ

乘以上式：

合并完整体系和非完整体系的两个表达式：

对于包含非完整体系的约束，由于S个qα中只有S m

-个是独

立的，因此不能令

q

α

δ

前面的系数为零，但是对于只要我们

适当选取m个条件，就可以使qα

δ

前面的系数为零，因此有:

例：

对于约束：C v 沿杆AB 方向，则x 和

y 在垂直于AB 方向上的投影为零。

此时：

00x y a dx a dy a d a dt θθ+++=

因为没有项，所以

将拉格朗日函数和上面的结果带入

由上式第3个方程：

其中：

;

αβ是积分常数。

由前两个方程得到：

→两边对 求导：

得到：

;γδ是积分常数。

其中：

ε为积分常数