微积分 第二章 第五节 极限存在性定理与两个重要极限

n
2 1 1 1
2! 3!
n!
2 1 1 1
12 23
n(n 1)
21 1 1 1 1 1 3 1 3.
223
n1 n
n
19
综上所述， {un } 单调增加且有上界,
因此 lim(1 1 )n 存在,记为 e.
n
n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数，log e x 记作 ln x .
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
例12 求 lim(1 cos x) 4secx . x 2 4
解 原式 lim (1 cos x) cosx e4 . x / 2
lim cos x 0
x 2
22
例13 连续复利问题
将本金A0 存入银行, 年利率为 r, 则一年后本息
之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r，但半年计一次
2
x
2
8.
13
例7 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当 x 0 时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
x x lim x0 (2 x)3
0.
解 当 x 0 时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
5、 lim sin x __________. x 2x
28
1
6、 lim(1 x) x _________. x0
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
例2 limsin x lim(sin x x) lim sin x lim x 0 .
x0
x0 x
x x0
x0
上述重要极限说明： sin x ~ x ( x 0)
例3 lim tan x lim sin x 1 x0 x x0 x cos x
sin x
1
lim lim
1.
x0 x x0 cos x
等号当且仅当 x = 0 时成立.
(|x| ) 2
6
基本不等式： | sin x | | x | | tan x |
(|x| )
2
等号当且仅当 x = 0 时成立.
实际上， | sin x | | x | 对一切实数 x 成立.
等号当且仅当 x = 0 时成立.
7
sin x x tan x , (0 x )
一、1、 ；
5、0；
2、2 ； 3
6、e ；
二、1、2；
5、3.
三、lim x
xn
2.
2、1 ； e
3、1； 7、e 2 ； 3、e 2a ；
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
31
等价无穷小代换求极限练习题
一、填空题：
1、lim tan 3x =__________. x0 sin 2x
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
tan x ~ x ( x 0)
10
实际上,只要 为某过程中的无穷小, 就有
lim sin 1 某过程
例4
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
1
lim
sin
x 2
2
2 x0 x
2
2
1 12 1 .
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
o xD A
显然 S AOB S 扇 AOB S AOC ,
即 0 1 sin x 1 x 1 tan x ,
2
22
sin x x tan x , (0 x )
2
基本不等式： | sin x | | x | | tan x |
会无限增大n
lim
n
A0 (1
r
)
n r
r
n
A0
er
.
称之为连续复利.
例如,年利率为3%,则连续复利为 A0e0.03 1.03045A0 .
类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、
林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实
际问题中都有应用.
24
三、小结
2
cos x sin x 1, x
上式三者均为偶函数,故当 x 0 时,上式也成立.
2
即得 cos x sin x 1 , 0 | x |
x
2
8
cos x sin x 1 , x
| sin x | | x | ,
0|x|
2
先证 lim cos x 1
x0
当 0 | x | 时, 0 1 cos x 2sin 2 x 2( x )2 x2 ,
n2 n
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x) f ( x) h( x)
且有 lim g( x) lim h( x) A ，
x x0
x x0
则极限 lim f ( x) 存在，且也等于 A. x x0
证略.
3
如果数列 un满足条件 x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
) x
1. e
x
21
例10 求 lim(1 2 )x .
x
x
解
原式
lim[(1
x
2)2
]2 [lim(1
2
)
x 2
]2
e2
.
x
x
x
x
例11 求 lim( 3 x )2x . x 2 x
" 1 "
2x
解
原式
lim[(1
x
1 )x 2]x 2 x2
2x lim
e x x2
e2.
对于 x 是_______阶无穷小 .
8 当x 0时, 无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则
m _______, n _______ .
二、求下列各极限：
1、lim x0
tan x sin 3
sin x
x
；
2、lim
e
e
；
3、lim sinx sin x ；
x0
x
33
4、lim tan x tan a . xa x a
1 3!
n(n
1)( n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn
17
2
1 2!
n(n n2
1)
1 3!
n(n
1)( n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn
2 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 2! n 3! n n
1 (1 1 ) (1 2 )(1 n 1)
2. lim(1 1 )n e
n
n
16
lim(1 1 )n e
n
n
记
un
(1
1 )n n
，先证明 {un }
单调增加:
u1 2 ,
u2
( 3)2 2
9 4
2
u1
,
当n 2时,
un
(1
1 )n n
1
C
1 n
1 n
C
2 n
1 n2
Cn3
1 n3
C
n n
1 nn
2
1 2!
n(n n2
1)
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4、lim x0
1 x sin x 1 =________. x 2 arctan x
5、lim n
2n
sin
x 2n
=________.
32
1
6、lim (1 ax)n 1=_________.
x0
x
7 当x 0时, a x 3 a(a 0)
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
25
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
26
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1
x lim 9x x
1 x
1 3x
n! n n
n
当
n
改为
n+1
时,上式通项
1 (1 k!
1) n
(1
2 )(1 n
k
n
1)
增大，且项数增加一项(每一项均为正),
un1 un .
18
其次,证明{un } 有上界：
un
2
1 (1 2!
1) n
1 (1 3!
1) n
(1
2) n
1
(1
1 ) (1
2 )(1
n
1 )
n! n n
22
11
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim
lim( )
lim
lim
lim
lim
.
注意 只有在乘、除的极限运算中才能替换；
在加、减的极限运算中不能替换！
12
例5 求极限 lim 1 cos x . x0 x sin x
可以证明，相应的函数极限有
" 1 "
lim(1 1 )x e 或
1
lim(1 x) x e
x
x
x0
20
实际上,只要 为某过程中的无穷小, 就有
1
lim [1 ] e
某过程
例9 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
lim x (1
1 1
解 当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 ,
2
原式
lim
x0
x2 2x2
1. 2
x sin x ~ x2.
例6 求极限 lim tan 2 2x . x0 1 cos x
解 当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan2x ~ 2x. 2
原式
(2x)2
lim
x0
1
/
2
原式 lim
1 x3 2
1
.
x0 (2 x)3 16
14
例8 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 原式 lim tan5x lim 1 cos x x0 sin3x x0 sin3x
lim
5x
lim
1 2
x2
5.
x0 3x x0 3x 3
15
下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
1 n2 n
n, n2 1
又 lim n lim 1 1,
n n2 n n 1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
2
2 22
lim x 2 0, 由夹逼定理,得 lim(1 cos x) 0 ,
x0 2
x0
所以 limcos x lim[1 (1 cos x)] 1 ,
x0
x0
再对 cos x sin x 1 利用夹逼定理， x
即证得 lim sin x 1 . x0 x
9
sin x lim 1 x0 x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
29
4、 lim( n2 1)n n n 1
1
5、lim(1 2n 3n )n n
三、利用极限存在准则证明数列 2, 2 2, 2 2 2 ,......的极限存在，并求
出该极限 .
30
练习题答案
第五节 极限存在性定理与两个重要极限
一、极限存在定理
定理(夹逼定理)
如果数列{ xn },{ yn } 及 {zn } 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N , N 1,)
(2)
lim
n
yn
A,
lim
n
zn
A,
那么数列{xn } 的极限存在,
且 lim n
xn
A.
证略.
1
例1 求 lim( 1 1 1 ).
利息,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金 再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年
r
的利率为
2
，故一年后的本息之和为 A0 (1
r )2 , 2
这种计算利息的方法称为复式计息法.
如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本
息之和为
An
A0(1
r )n n
23
An
A0(1
r )n n
随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
单调数列
定理 单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限 sin x
1. lim 1 x0 x
y 1
x
5
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2 作单位圆的切线，得ACO .
C B
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
1 x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
27
练习题
一、填空题:
1、 lim sinx _________.
x0 x
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
x0
x
4、 lim x cot 3x __________. x0