自回归移动平均模型解析

第二章自回归移动平均模型

一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息, 行建模和预测。

第一节ARMA 模型的基本原理

ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型( AR, Auto-regressive Model )，移动平 均模型(MA ，Moving Average Model )以及自回归移动平均模型 (ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model )。

2.1.1自回归模型的基本原理 1. AR 模型的基本形式

AR 模型的一般形式如下：

办乂「1办」• 2办上 ....... \%申；t

其中，c 为常数项，'1, 2^ \模型的系数，；t 为白噪声序列。我们称上述方程为 p

阶自回归模型，记为 AR(p )。 2. AR 模型的平稳性

此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。 即若时

间序列｛%｝是平稳的，即 E(y t)=^, Var (y t

2

, Cov(y t , y —) =

。

为了描述的方便，对式(2.1 )的滞后项引入滞后算子。若

y t

二x t

j ，定义算子“ L ”，

r .

k

使得y t =Lx t =为4 L 称为滞后算子。由此可知，

L 人=X t±。

对于式子(2.1),可利用滞后算子改写为：

y t =c 丄％

2

L 2%

p

L P %

t

移项整理，可得：

(1- 丄- 2L 2

- - p L p

)y t 二c ；t

Box 和 Jenkins 创立的 ARMA 并由此对时间序列的变化进

AR(p)的平稳性条件为方程1 - 1L - qL2 -…-pL^0的解均位于单位圆外。

3.AR模型的统计性质

(1)AR模型的均值。

假设AR(p )模型是平稳的，对AR(p )模型两边取期望可得：

根据平稳序列的定义知，E(yJ = • I ,由于随即干扰项为白噪声序列，所以E(；J = 0, 因此上式可化简为：

(1 - 1 - 2 -…- ')亠八0

1 一％-％―…_©p

(2)AR模型的方差。

直接计算AR( p)模型的方差较困难，这里引入Green函数。

AR(p )模型可以改写成如下形式：

y t

：(L)

设■ j…■ p为平稳AR(p )模型的反特征根，则

p

:：J(L) =1一丄一2L2-川一p L p"【(1- 丄)。

i =1

进一步，

p k p p 『：：

y t 亠.t k i(' i L V t k i 订；t「j = ' G j ；t_j

i=11—，-i L imj=o j=0im j =0

p

其中，k i为常数，G j八.k i■ i j，称为Green函数，因为'' p均在单位圆内，所

i =1

以Green函数是呈负指数下降的。

对上式两边取方差，可得：

C3O

2

var(y t) =、G j var( ；t_j)

j=0

由于随机干扰项为白噪声序列，所以var(；t_j)=匚2。因为Green函数是呈负指数下降,

-- 2

所以G j ：：：：:，这说明平稳时间序列方差有界，且等于常数、G j务2。

j =0 j=P

(3)自协方差函数。

假设将原序列已经中心化，贝V E(y t) =0，则对AR( p)模型等号两边同时乘以

y t上(-k _1)，两边取期望得：

E(ytytjJ = 土卜少―) jEWt^ytjJ …• pE(yt_pytjJ E(心…)

因为当期的随机干扰项与过去的时间序列值无关，所以：E(；t y t上)=0。因此，上式可以化为：

G二】「丄2—'……

其中r k，表示k阶自协方差。

2.1.2 移动平均模型的基本原理

1.MA模型的基本形式

MA模型的一般形式如下：

办=U J 」二2 ；2…乜2

其中，u为常数项，RC2…Jp为模型的系数，；t为白噪声序列。我们称上述方程为q 阶移动平均模型，记为MA(q)。

2、MA模型的可逆性

对于一个MA( q)模型：

y t = U • ；t 7 2 宀2 2 …T q ；tT

将其写成滞后算子的形式：

y t-u=(1,丄F2，q L q)；t

若方程1 •• 1L2• Tq L q=0的根全部落在单位圆外，则称MA模型是可逆的。可逆性可以保证MA模型可以改写成：

'■■(L)(y t -u^ ’

即MA模型可以转化为AR模型，同时可以保证参数估计的唯一性。

3、MA模型的数字特征

（1）均值

当q ：：:：:时，对于一般的MA （q）模型：

y t = U " ^-t J ^2 -t _2 L 入討_q

两边取期望，可得：

E（yJ = E（u • “；2 I ；t, * L Vq ；t^）二u

即一般的MA（q）模型的期望值即为模型中的常数项。

（2）方差

对MA（q）模型，两边取方差：

Var （y t） =Var （u • t ：：勺；t」：：*2 t _2 •……为戈卫）=（1 W -……V ）；『

（3）协方差函数

r k 二Elyy上）=E[（u •上T t」二t 2 •…F ；t』）（u y T 2丄 V '… 為化简可得：匚2（1 V2；；•川v：）,k =0 k二F卞1 •川启山）,0你"

0,k q

2.1.3自回归移动平均模型的基本原理

1、ARMA模型的基本形式

ARMA模型的一般形式如下:

y t 二C「2丫2 一• ；t 二1 ；2 二2 2 一二p ；tT

显然ARMA（p,q）模型可看成是AR（p）模型和MA（q）模型相结合的混合形式。

2、ARMA模型的平稳性和可逆性

对于一个ARMA（p，q）模型，

y t =C「1丫2「2人,…；t 二1 ；t J 二2 2 f p

将其写为滞后算子的形式：

（1 一丄一\L2-1_一p L p）y t 二c （1 JL ^L2L jq L q）t

两边同时除以（1 - ]L - ；L2-L-\L p）

y t 二亠冋（L）；t

其中: