贵州民族大学数分、高代历年考研真题

贵州民族大学数分、高代历年考研真题
G---king.2020.7.21说明：数分从08--2016，缺2014年。

高代从07---2016年，缺2010年。

贵州民族大学2014年攻读硕士研究生入学考试
高等代数试题
一、(20分)设[],n n ij A a R ⨯=∈||0,A =且A 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠.
证明：12[,,,]T i i in A A A 是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系。

二、(25分)已知数域P 上的4级矩阵1151112331811397A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
，线性空间4P 上的线性变换4:,x Ax x P σ→∈，（1）求线性变换的核和值域的维数；（2）求1(0).
σ-三、（30分）设实矩阵×[].n n ij A a R =∈证明：
（1）A 非奇异⇔实二次型()T T f x x A Ax =正定；（2
）det()A ≤四、（25分）设[]n n ij A a R ⨯=∈且2(A E E =是n 阶单位矩阵）.
证明：（1）()()r A E r A E n ++-=；（2）A 可对角化。

五、（20分）设12{,,,}m εεε 是n 维欧式空间V 上的标准正交组，证明对任意的V α∈，成立不等式221(,)||.
m
i i αεα=≤∑六、（30分）在欧氏空间3R 上求一正交变换x Uy =化二次型()f x 为标准型，其中123121323(,,)2()f x x x x x x x x x =++，并讨论()f x 的正定性。

贵州民族大学2015年攻读硕士研究生入学考试
高等代数试题及答案
一、（15分）计算n 阶行列式1
22222
22222
23222222n。

二、（25分）解线性方程组123412341234123435712,3570,5734,
73516.
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩三、（25分）设010********A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，计算10.
A 四、（25分）用非退化线性化二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++为标准型，并写出所作的线性变换。

五、（25分）求由向量组12[2,0,1,3,1],[0,2,1,5,3]αα=-=--生成的子空间1W 与由向量组
12[1,1,0,1,1],[1,3,2,9,5]ββ=-=-生成的子空间2W 的交与和的维数与一
组基。

六、（15分）设,A B 是线性空间V 中线性变换，且22,,A A B B ==证明,A B 有相同值域的充要条件是,.
AB B BA A ==七、（20分）试证：对称变换A 的不变子空间的正交补也是A 的不变子空间。