北师大版数学高一必修1练习 函数的表示法

[A 基础达标]

1．由下表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于( )

x 1 2 3 4 5 y

4

5

3

2

1

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5 解析：选B.由表可知f (1)＝4，所以f (f (1))＝f (4)＝2.

2．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (α)＋f (1)＝0，则实数α的值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

解析：选A.因为f (1)＝2，所以f (α)＝－f (1)＝－2，由于x >0时，2x >0，所以α∉(0，＋∞)．

所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3. 3．若f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1

x 2，则f (x )＝( ) A ．x 2＋2 B ．x 2－2 C ．(x ＋1)2

D ．(x －1)2

解析：选A.因为f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1

x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2

＋2， 所以f (x )＝x 2＋2.

4．已知函数f (x ＋1)＝x ＋1，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝x 2＋1(x ≥1)

C ．f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1)

D ．f (x )＝x 2－2x (x ≥1)

解析：选C.因为x ≥0，令x ＋1＝t ，则t ≥1，x ＝(t －1)2，所以f (t )＝(t －1)2＋1＝t 2－2t ＋2(t ≥1)，

即f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1)．

5

．如图所示的图像表示的函数的解析式为( )

A ．y ＝3

2|x －1|(0≤x ≤2)

B ．y ＝32－3

2|x －1|(0≤x ≤2)

C ．y ＝3

2－|x －1|(0≤x ≤2)

D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)

解析：选B.当x ＝1时，y ＝3

2

，排除A ，D.当x ＝0，时y ＝0，排除C.

6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f (f (0))＝________．

解析：由图像可得f (0)＝4，f (4)＝2. 答案：2

7．若函数f (x )满足f (x ＋1)＝3x －1，则f (x )的解析式为________． 解析：法一：f (x ＋1)＝3x －1＝3(x ＋1)－4，所以f (x )＝3x －4.

法二：令x ＋1＝t ∈R ，则x ＝t －1，所以f (t )＝3(t －1)－1＝3t －4，即f (x )＝3x －4. 答案：f (x )＝3x －4

8．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x

1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________． 解析：法一：因为x ≠0且x ≠1，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝11x

－1

，即f (x )＝1x －1. 法二：令1x ＝t ，因为x ≠0且x ≠1，所以t ≠0且t ≠1，x ＝1t ，则f (t )＝1t

1－

1t ＝1

t －1

，即f (x )

＝1x －1

.

答案：

1

x－1

9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示．

(1)根据图像确定函数的定义域和值域；

(2)根据图像求函数解析式．

解：(1)由图像可知函数的定义域为R，值域为[0，＋∞)．

(2)当－1≤x≤1时，设y＝ax2.

将点(1，1)或(－1，1)代入，可得a＝1，所以y＝x2.

当x>1时，设y＝kx＋b.

将点(1，1)，(2，2)代入，得

⎩⎪

⎨

⎪⎧1＝k＋b，

2＝2k＋b.

解得k＝1，b＝0.所以y＝x.

故y＝f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧x2，－1≤x≤1，

1，x<－

1，

x，x>1.

10．如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．

解：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，

所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，

其中自变量x应满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧a－2x>0，

x>0，

即0

2.

所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为⎝⎛⎭⎫

0，

a

2.

[B能力提升]

1．若二次函数的图像开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以为( )

A ．f (x )＝x 2－1

B ．f (x )＝－(x －1)2＋1

C ．f (x )＝(x －1)2＋1

D ．f (x )＝(x －1)2－1

解析：选D.根据已知条件可设f (x )＝(x －1)2＋c .由于点(0，0)在二次函数的图像上，所以f (0)＝(0－1)2＋c ＝1＋c ＝0，所以c ＝－1，所以f (x )＝(x －1)2－1.

2．设集合A ＝[0，12)，集合B ＝[1

2

，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A ，且

f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是________．

解析：因为x 0∈[0，12)，所以f (x 0)＝x 0＋12∈[1

2

，1)，即f (x 0)∈B ，

所以f (f (x 0))＝2(1－f (x 0))＝2－2f (x 0)＝2－2(x 0＋12)＝－2x 0＋1，由题意知0≤－2x 0＋1<1

2，

所以14

2.

答案：(14，12

)

3．已知函数f (x )＝x

ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求

函数y ＝f (x )的解析式．

解：因为f (2)＝1，所以2

2a ＋b ＝1，

即2a ＋b ＝2.①

又因为f (x )＝x 有唯一解， 即

x

ax ＋b

＝x 有唯一解， 所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(b －1)2＝0， 即b ＝1.代入①得a ＝1

2.

所以f (x )＝x 12

x ＋1＝2x

x ＋2.

4．(选做题)设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y ，有f (x －y )