2019-2020年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末检测 新人教A版选修4-5

2019-2020年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末检测

新人教A 版选修4-5

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．若a 2＋b 2

＝5，则a ＋2b 的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案: A

2．设xy ＞0，则⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝

⎛⎭

⎪⎫y 2＋1x

2的最小值为( )

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

答案: B

3．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3 D.

32

解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2](12＋12＋12

)

≥13(a ＋b ＋2c )2，∴(a ＋b ＋2c )2

≤3.∵a ，b ，c 为正数，∴a ＋b ＋2c ≤ 3. 答案：B

4．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中取值最大的一个是( ) A ．ax ＋cy ＋bz B ．bx ＋ay ＋cz C ．bx ＋cy ＋az D ．ax ＋by ＋cz 答案：D

5．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2

n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )

A ．1

B ．2 C.1

2

D ．4

解析：|a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n |≤a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n ×x 2

1＋x 2

2＋…＋x 2

n ＝1，当且仅当a 1x 1＝a 2x 2

＝…＝a n x n

时，等号成立．

答案：A

6．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2

的最小值是( ) A ．1 B.13 C.1

2

D ．3

解析：x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2

×13＝93＝3.

答案：D

7．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c

的值( )

A ．大于9

B ．不大于9

C ．小于9

D ．不小于9

解析：构造两组数a ，b ，c ；

1

a

，

1

b

，

1

c

.于是由柯西不等式有[(a )2＋(b )

2

＋(c )2

]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝

⎛

⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2，即(a ＋b ＋

c )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ≥9，当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，等号成立．

答案：D

8．已知x ＋2y ＋3z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2

的最小值是( ) A.

114 B.17 C.314 D.27

解析：根据柯西不等式有(x 2

＋y 2

＋z 2

)(12

＋22

＋32

)≥(x ＋2y ＋3z )2

＝1，∴x 2

＋y 2

＋z 2

≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时，x 2＋y 2＋z 2

取最小值，最小值为114

. 答案：A

9．设x 1，x 2，…，x n 是互不相同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x n

n 2的最小值是( )

A ．1

B ．2

C ．1＋12＋13＋…＋1n

D ．1＋122＋132＋…＋1

n

2

解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1＜a 2＜…＜a n .因为a 1，

a 2，…，a n 是互不相同的正整数，所以a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又因为1＞1

22＞1

32＞…＞1

n 2，

所以由排序不等式，得x 11＋x 222＋x 332＋…＋x n n 2≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥1×1＋2×122＋3×1

32＋…＋

n ×1

n 2＝1＋1

2＋1

3＋…＋1

n

.

答案：C

10．已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2

－ab )( ) A ．大于零 B ．大于等于零 C ．小于零 D ．小于等于零

解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3

b ＋b 3

c ＋c 3a .又ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab .所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ，即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2

－ab )≥0.

答案：B

11．若a ，b ，c 为正数，则⎝

⎛⎭

⎪⎫a b ＋b c ＋c

a

·(b a ＋c b ＋a c

)的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．9 解

析

：

由

柯

西

不

等

式

可

知

⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥⎝

⎛

⎭

⎪⎫a b ·b a ＋b c ·c b ＋c a

·a c 2＝32

＝9.