高一数学《函数的值域》的求法

高一数学《函数的值域》的求法
《新形势下教育管理理论与实践指导全书》
函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。

（1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围；
（2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；
（3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；
（4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；
（5）单调性法——利用函数的单调性求值域；
（6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。

例1、求下列函数的值域：（直接法）
（1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1}
解：当x=－1时,y=0
当x=0时,y=－3
当x=1时,y=－4
∴所求值域{0,－3,－4}
（2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］
解：y=(x－1)2－4
当y=－3时,y max=12
当x=1时,y min=－4
所求值域为［－4，12］
（3）y=x2－2x－3，x∈R
解：y=(x－1)2－4≥－4
∴所求值域为［－4,+∞)
可改变x的范围，求函数的值域。

如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞)
（4）y=4
解：要使原函数有意义,则
3+2x－x2≥0
－1≤x≤3
y=4
当x=1时,y min=0
当x=－1或3时,y max=4
∴所求值域为［0,4］
（5）y=
25
243 x x
-+
解：y=
25
2(2)3 x x
-+
=252(1)1
x -+ ∵2(x －1)2≥0
∴2(x －1)2+1≥1
∴0＜
212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1
x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］
上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。

例2、求下列的值域：
（1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x
+，x ∈［1,3］ （4）y=22436
x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431
x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311
x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3
所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞)
解：（2）≥0)则x=2
12
t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54
当t=12时,y max =54
∴所求值域为（－∞, 54
］ 解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x
在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2
当x=3时，y max =
103
∴所求值域为［2，103
］ 解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}
方法1：（先化简函数）y=
(3)(1)131(3)(2)22
x x x x x x x +++==++--- ∵x ≠2 ∴y ≠1 又x ≠3 ∴y ≠312x +
--即y ≠25
所求值域为{y R ∈|y ≠1且y ≠25} 方法2：（判别式法）由y=22436
x x x x +++-得 (y －1)x 2+(y －4)x －3(2y+1)=0
1°当y=1时，x=－3与定义域中x ≠=－3矛盾，∴y ≠1
2°当y ≠1时，由△=(5y －2)2≥0得
y ∈R ，但y ≠1
而当y=
25时，求得x=－3不合题意∴y ≠25
故所求值域为{y ∈R|y ≠1,且y ≠25
} 解：(5)(判别式法)：由y=234x x +得 y ·x 2－3x+4y=0
1°当y=0时,x=0
2°当y ≠0时，∵x ∈R ∴△=32－4y ·y ≥0 －34≤y ≤34
且y ≠0 综合以上知所求值域为［－
34，34］ 注：利用判别式求形如：y=22ax bx c dx ex f
++++的值域当化为m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0后，要注意： ①分m(y)=0，及m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才能利用判别式；
②在求出y 的取值范围后；要注意“=”能否取到，即检验间断点以及△=0时，y 对应x 是否属于定义域。

例3、求下列函数的值域
解：y=|x+4|+|x －1|
方法1：（几何意义）y=|x+4|+|x －1|表示数轴上点到－4与到1的距离之和，且|x+4|+|x －1|≥5
∴y ≥5
方法2：（数形结合）
y=|x+4|+|x－1|=
23(4)
5(41) 23(1)
x x
x
x x
⎧--≤-
⎪⎪
-<<⎨
⎪
+≥
⎪⎩
如图y≥5 ∴所求值域为［5,+∞)
仿真训练：
求下列函数的值域：
（1）y=1
25
x
x
-
+
（2）y=2x－
（3）y=
2
2
3
1
x x
x x
-+
-+
（4）
2
（5）y=|x－2|－|x+1|。