有限元法及其应用1

1.3 有限元的发展史
1.3 有限元的发展史
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分 方法，变分原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人 的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的 一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计 算公式。 • 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现 所有能写成变分形式的场问题，都可以用与固体力学有 限元法的相同步骤求解。 • 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别 是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问 题。
1.5 有限单元法的基本思想
节点
vm
m( xm ym )
um
vi
单元
ui
vj
u
j
y
i( xi yi )
x
j( x j y j )
1.5 有限单元法的基本思想
求解的基本步骤： • 建立所研究问题的数 学模型 • 物体离散 • 单元刚度矩阵 • 组装整体刚度矩阵 • 求解线性方程组 • 结果分析及后处理
1.4 有限元的一些应用
转向机构支架的强度分析，用 MSC/Nastran完成
1.4 有限元的一些应用
“中华和钟” 现存放于劳动人民文化宫“太庙”
有限元分析模型
1.4 有限元的一些应用
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
1.4 有限元的一些应用
核电压力容器带裙座封头形成过程的有限元分析
1.4 有限元的一些应用
有限元法原理与应用
第一章 概述
教材与主要参考书
1. 《有限元法》 李景涌编 北京邮电大学出版社 2. 《有限元分析与应用》曾攀 清华大学出版社 3. 《有限元分析－ANSYS理论与应用》
本课程的基本目标
1. 有限元基本思路与基本理论基础 2. 一种常见有限元软件的基本应用
独立完成上机作业！
1.2 相关的力学学科
中学力学课程 对象：质点 特征： 无变形 无形状的点 变量： (1)质点描述(质心) (2)运动状态描述(质心) (3)力的平衡描述 方程： 质点的牛顿三大定律 理论力学 对象：质点系及刚体 特征： 无变形 复杂形状的体 变量： (1)刚体描述(质心,转动) (2)运动状态描述(质心,转动) (3)力的平衡描述 方程： 质点和刚体的牛顿三大定律 材料力学 对象：简单变形体 特征： 小变形 简单形状的体 变量： (1)材料物理特性描述 (2)变形方面的描述 (3)力的平衡描述 方程： (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量 三大方程
力学模型
P
(平面应力问题)
P
有限元模型
1.5 有限单元法的基本思想
有限单元法的优点
– 概念简单，易于掌握 – 适应性强，应用范围广：复杂边界条件，非 线性，非均质，动力学，热传导，电磁场， 流体力学 – 采用矩阵形式，便于应用于计算机
1.6 一些基本概念
• 结构离散（有限元建模）
内容： 1）网格划分——即把结构按一定规则分割成有限 个单元 2）边界处理——即把作用于结构边界上约束和载 荷处理为节点约束和节点载荷 要求： 1）离散结构必须与原始结构保形——单元的几何 特性 2）一个单元内的物理特性必须相同——单元的物 理特性
T形锻件的成形分析
1.4 有限元的一些应用
BMW曲轴的感应淬火
1.4 有限元的一些应用
湖北剧场的设计方案和有限元计算模型
1.4 有限元的一些应用
同样可以用有限元法进行 静力和动力分析
1.4 有限元的一些应用
深圳集建大厦 的有限元模型
1.4 有限元的一些应用
流体流动模拟
1.5 有限单元法的基本思想
1. 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；即原始连续求解域用有限个单元的集合近 似代替 2. 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示，通常称为插值函数或位移函数 3. 把单元外力（面力、体力、温度等）转换到节点上， 作为节点等效力 4. 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即 单元刚度方程） 5. 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体 的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形 方程组，引入边界条件求解该方程组即可。
1.6 一些基本概念
• 单元：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小 结构域 • 节点：单元与单元间的连接点。 • 节点力：单元与单元间通过节点 的相互作用力 1 • 节点载荷：作用于节点上的外载。 注意：1)节点是有限元法的重要 概念，有限元模型中，相邻单元 的作用通过节点传递，而单元边 界不传递力，这是离散结构与实 际结构的重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别 F
1.3 有限元的发展史
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多 贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法）， 钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海 昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾 的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作 受到阻碍。 • 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问 题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元 法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的 工具。 • 有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分 方程描述的场问题的求解。
求解：积分方法
求解：积分方法
求解：简化求解方法
1.2 相关的力学学科
结构力学 对象：数量众多的简单变形体 特征： 小变形 简单形状的体(数量多) 变量： (1)材料物理特性描述 (2)变形方面的描述 (3)力的平衡描述 方程： (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量 三大方程 弹性力学 对象：任意变形体 特征： 小变形 任意形状的体 变量： (1)材料物理特性描述 (2)变形方面的描述 (3)力的平衡描述 方程(针对微元dxdydz)： (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量 三大方程 弹塑性力学 对象：任意变形体 特征： 大变形,非线性 任意形状的体 变量： (1)材料物理特性描述(弹塑性) (2)变形方面的描述 (3)力的平衡描述 方程(针对微元dxdydz)： (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量 三大方程
1
节点载荷
Y2
2
①
X2
②
3
节点力
Fy12 2
①
Fy22 2
②
F
1 x2
Fx 2
2
1 y1
Fy23 Fx1
1
3
ຫໍສະໝຸດ BaiduFx 3
2
1.6 一些基本概念
不合理的结构离散
节点不合理 不同材料
单元类型
单元图形
节点数
节点自由度
杆单元 梁单元
2 2 3 4 3 4 4
2 3 2 2 2 3(6) 3
典 型 单 元 类 型
• 1956年他们在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的 计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们 把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中 近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚 度矩阵。 Turner M.J. Clough R.W. Martin H.C. and Topp L.J. "Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures", J.Aeronaut, Sci, 23, No.9, 1956. • 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一系 列能量原理和结构分析的论文。 Argyris J.H. "Energy Teorems and Structural Analysis",Aircraft Eng. 26, PP.347-356,383-387,394,1954, 27,PP.42-58,8094,125-134,145-158,1955. • 1960年，Clough在他的名为“The Finite Element in Plane Stress Analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语。Clough R.W. " The Finite Element in Plane Stress Analysis" Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. 1960.
求解：简化求解方法
求解：解析法，半解析法
求解：解析法，半解析法
1.3 有限元的发展史
数值分析方法： (1). 有限差分法：微分方程 (2). 等效积分：配点法，最小二乘法、 Galerkin法，力矩法等，整个求解域上 假定 (3). 有限单元法：离散，在单元域上假定
1.3 有限元的发展史
1.3 有限元的发展史
平面单元 平面四边形 轴对称问题 板壳单元 四面体单元
1.7 有限元软件
• 通用有限元软件：SAP, NASTRAN, ASKA, ADINA, ANSYS, ABAQUS… • 专用软件：核心为有限元，前后处理和 分析功能加入了一些特定领域的内容 （如，高层、刚性楼板等），如ETABS…
国内有限元软件：SAP84，大连理工大学…
• 工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果， 即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年 代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结 构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结 构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系 统在结构上存在相似性。 • 有限单元法与结构分析的矩阵表示法密切相关，这种表 示方法（矩阵表示法）在1952年由Langefors提出。 Langefors B. "Analysis of Elastic Structures by Matrix Transformation with Special Regard to Semimonocoque Structures", J.Aeronaut, Sci. 19, No.8, 1952.